Sean u y w vectores en R^3 y sea θ el angulo entre u y w.
Demuestre que
‖ u X w ‖ = ‖ u ‖ ‖ w ‖ sec〖(θ)〗
álgebra lineal..... agradezco la colaboración urg....
Respuestas
Aplicando axiomas, propiedades y operaciones matemáticas se demostró:
∥u×w∥=∥u∥∥w∥Sen(θ)
Explicación paso a paso:
Dada, ∥u×w∥=∥u∥∥w∥Sen(θ)
Aplicar la identidad de Lagrage;
∥u×w∥² = (u₂w₃-u₃w₂)² + (u₃w₁-u₁w₃)² + (u₁w₂-u₂w₁)²
Aplicar binomio cuadrado: (a+b)² = a² + 2ab + b²
(u₂w₃-u₃w₂)² = u₂²w₃² -2u₂u₃w₂w₃+u₃²w₂²
(u₃w₁-u₁w₃)² = u₃²w₁² -2u₁u₃w₁w₃+u₁²w₃²
(u₁w₂-u₂w₁)² = u₁²w₂² -2u₁u₂w₁w₂+u₂² w₁²
Agrupar;
∥u×w∥² = u₁²(w₂²+w₃²)+ u₂²( w₁²+ w₃²)+ u₃²( w₁²+ w₂²) – 2(u₂u₃w₂w₃+ u₁u₃w₁w₃+ u₁u₂w₁w₂)
Si,
∥u∥²∥w∥²Cos²(θ) = (u•w)² = (u₁w₁+ u₂w₂+ u₃w₃)(u₁w₁+ u₂w₂+ u₃w₃)
= u₁²w₁²+ u₂²w₂²+ u₃²w₃² + 2(u₂u₃w₂w₃+ u₁u₃w₁w₃+ u₁u₂w₁w₂)
Sumar;
∥u×w∥² + ∥u∥²∥w∥²Cos²(θ) = u₁²(w₂²+w₃²)+ u₂²( w₁²+ w₃²)+ u₃²( w₁²+ w₂²) – 2(u₂u₃w₂w₃+ u₁u₃w₁w₃+ u₁u₂w₁w₂)+ u₁²w₁²+ u₂²w₂²+ u₃²w₃² + 2(u₂u₃w₂w₃+ u₁u₃w₁w₃+ u₁u₂w₁w₂)
Factorizar;
∥u×w∥² + ∥u∥²∥w∥²Cos²(θ) = u₁²(w₁²+w₂²+w₃²)+ u₂²(w₁²+w₂²+w₃²)+ u₃²(w₁²+w₂²+w₃²)
Factorizar;
∥u×w∥² + ∥u∥²∥w∥²Cos²(θ) = (u₁²+ u₂²+ u₃²)(w₁²+w₂²+w₃²)
Siendo;
(u₁²+ u₂²+ u₃²)(w₁²+w₂²+w₃²) = ∥u∥²∥w∥²
Sustituir;
∥u×w∥² + ∥u∥²∥w∥²Cos²(θ) = ∥u∥²∥w∥²
Despejar ∥u×w∥²;
∥u×w∥² = ∥u∥²∥w∥² - ∥u∥²∥w∥²Cos²(θ)
Factorizar;
∥u×w∥² = ∥u∥²∥w∥² (1- Cos²(θ))
Aplicar Identidad trigonométrica;
Sen² (θ) + Cos² (θ) = 1
Despejar Sen² (θ);
Sen² (θ) = 1- Cos²(θ)
Sustituir;
∥u×w∥² = ∥u∥²∥w∥² Sen²(θ)
Eliminar los cuadrados;
∥u×w∥ = ∥u∥ ∥w∥ Sen(θ)