Question

Cartón rectangular de 27 cm x 36 cm. se debe cortar en cada esquina un cuadrado. de modo que con el cartón resultante, doblado convenientemente, se pueda construir una caja sin tapa. determinar la longitud del cuadrado de las esquinas para que la capacidad de la caja sea máxima

Answer 1

Dado un cartón rectangular.

La longitud del cuadrado de las esquinas para que la capacidad de la caja sea máxima es:

x = 5.09 cm

Explicación paso a paso:

Datos;

largo: 36 cm

ancho: 27 cm

Nuevas dimensiones;

l = 36 - 2x

a = 27 - 2x

Volumen;

v = l × a × h

Siendo;

h = x

Sustituir;

v = (36-2x)(27-2x)(x)

v = (972 -72x -54x +4x²)x

v = 972x-126x²+4x³

Aplicar derivada;

v' = d/dx(972x-126x²+4x³)

d/dx(972x) = 972

d/dx(-126x²) = -252x

d/dx(4x³) = 12x²

Sustituir;

v' = 972 - 252x +12x²

Igualar a cero;

12x² - 252x + 972 = 0

Aplicar la resolvente;

x₁,₂ =[-b±√(b²-4ac)]/2a

Sustituir;

x₁,₂ =[252±√(252²-4(12)(972)]/24

x₁,₂ =[252±√(16848)]/24

x₁,₂ =[252±36√13]/24

x₁ = 15.9 cm

x₂ = 5.09 cm

Por lógica x₂ es el valor para que la capacidad de la caja sea máxima.