Question

Dada la siguiente matriz: 1. Calcular el rango por el método de Gauss Jordán 2. Calcular el rango por el método de determinantes 3. Indique si existe dependencia o independencia lineal.

Answer 1

El rango de la matriz B por:

1. Método de Gauss Jordan.

Rango(B) = 3

2. Método de determinantes.

Rango(B) = 3

3. Es un sistema dependiente o independiente lineal.

Al aplicar el método de Gauss Jordan se puede ver que ninguna fila o columna es nula por lo tanto es linealmente independiente los elementos de la matriz B.

Explicación:

Dada;

$B=\left[\begin{array}{cccc}-1&2&6\\2&3&5\\-3&0&3\\2&1&4\end{array}\right]$

1. Se reducirá la matriz aplicando el método de Gauss Jordan, llevarla a la identidad y el rango sera el número de filas diferentes de cero.  

$=\left[\begin{array}{cccc}-1&2&6\\2&3&5\\-3&0&3\\2&1&4\end{array}\right]$

-f₁

$=\left[\begin{array}{cccc}1&-2&-6\\2&3&5\\-3&0&3\\2&1&4\end{array}\right]$

f₂-2f₁

f₃+3f₁

f₄-2f₁

$=\left[\begin{array}{cccc}1&-2&-6\\0&7&17\\0&-6&-15\\0&5&16\end{array}\right]$

1/7f₂

$=\left[\begin{array}{cccc}1&-2&-6\\0&1&17/7\\0&-6&-15\\0&5&16\end{array}\right]$

f₃+6f₂

f₄-5f₂

$=\left[\begin{array}{cccc}1&-2&-6\\0&7&17\\0&0&-10/7\\0&0&27/7\end{array}\right]$

-7/10f₃

$=\left[\begin{array}{cccc}1&-2&-6\\0&7&17\\0&0&1\\0&0&27/7\end{array}\right]$

f₄-27/7f₃

$=\left[\begin{array}{cccc}1&-2&-6\\0&7&17\\0&0&1\\0&0&0\end{array}\right]$

Rango(B) = 3

2.  Se debe tener una matriz cuadrada para aplicar determinante. Su rango sera mayor o igual a 3 si el determinante de las sub matices de orden 3 es diferente de cero.  

$det\left[\begin{array}{ccc}-1&2&6\\2&3&5\\-3&0&3\end{array}\right]$

= -1[(3)(3)-(0)(5)]-2[(2)(3)-(-3)(5)]+6[(2)(0)-(-3)(3)]

= -1(9)-2(21)+6(9)

= 3  

El determinante es distintos de cero por lo tanto;

Rango(B) = 3