Question

Ejercicio 5. Demostraciones matemáticas a partir del uso de axiomas, propiedades y operaciones relacionadas con espacios vectoriales.
a) Sean u y w vectores en R^3 y sea θ el ángulo entre u y w. Demuestre que

∥u×w∥=∥u∥∥w∥Sen(θ)

Answer 1

Aplicando axiomas, propiedades y operaciones matemáticas se demostró:

∥u×w∥=∥u∥∥w∥Sen(θ)

Explicación paso a paso:

Dada, ∥u×w∥=∥u∥∥w∥Sen(θ)

Aplicar la identidad de Lagrage;

∥u×w∥² = (u₂w₃-u₃w₂)² + (u₃w₁-u₁w₃)² + (u₁w₂-u₂w₁)²

Aplicar binomio cuadrado: (a+b)² = a² + 2ab + b²

(u₂w₃-u₃w₂)² = u₂²w₃² -2u₂u₃w₂w₃+u₃²w₂²  

(u₃w₁-u₁w₃)² = u₃²w₁² -2u₁u₃w₁w₃+u₁²w₃²  

(u₁w₂-u₂w₁)² = u₁²w₂² -2u₁u₂w₁w₂+u₂² w₁²  

Agrupar;

∥u×w∥² = u₁²(w₂²+w₃²)+ u₂²( w₁²+ w₃²)+ u₃²( w₁²+ w₂²)

               – 2(u₂u₃w₂w₃+ u₁u₃w₁w₃+ u₁u₂w₁w₂)

Si,  

∥u∥²∥w∥²Cos²(θ) = (u•w)² = (u₁w₁+ u₂w₂+ u₃w₃)(u₁w₁+ u₂w₂+ u₃w₃)

= u₁²w₁²+ u₂²w₂²+ u₃²w₃² + 2(u₂u₃w₂w₃+ u₁u₃w₁w₃+ u₁u₂w₁w₂)

Sumar;

∥u×w∥² + ∥u∥²∥w∥²Cos²(θ)

= u₁²(w₂²+w₃²)+ u₂²( w₁²+ w₃²)+ u₃²( w₁²+ w₂²)

  – 2(u₂u₃w₂w₃+ u₁u₃w₁w₃+ u₁u₂w₁w₂)

   + u₁²w₁²+ u₂²w₂²+ u₃²w₃²

    + 2(u₂u₃w₂w₃+ u₁u₃w₁w₃+ u₁u₂w₁w₂)

Factorizar;

∥u×w∥² + ∥u∥²∥w∥²Cos²(θ)

= u₁²(w₁²+w₂²+w₃²)+ u₂²(w₁²+w₂²+w₃²)+ u₃²(w₁²+w₂²+w₃²)

Factorizar;

∥u×w∥² + ∥u∥²∥w∥²Cos²(θ) = (u₁²+ u₂²+ u₃²)(w₁²+w₂²+w₃²)

Siendo;

(u₁²+ u₂²+ u₃²)(w₁²+w₂²+w₃²) = ∥u∥²∥w∥²

Sustituir;

∥u×w∥² + ∥u∥²∥w∥²Cos²(θ) = ∥u∥²∥w∥²

Despejar ∥u×w∥²;

∥u×w∥² = ∥u∥²∥w∥² - ∥u∥²∥w∥²Cos²(θ)

Factorizar;

∥u×w∥² = ∥u∥²∥w∥² (1- Cos²(θ))

Aplicar identidad trigonométrica;

Sen² (θ) + Cos² (θ) = 1

Despejar Sen² (θ);

Sen² (θ) = 1- Cos²(θ)

Sustituir;

∥u×w∥² = ∥u∥²∥w∥² Sen²(θ)

Eliminar los cuadrados;

∥u×w∥ = ∥u∥ ∥w∥ Sen(θ)