Question

Dentro de los tipos de software existentes están los compiladores. Los cuales dentro de su función principal es convertir las líneas de código de un lenguaje de programación de alto nivel a uno de más bajo nivel. Un software compilador X realiza dicha función a una velocidad dada por la expresión v(t)=ln⁡(x^2+1), donde v(t) es la velocidad de conversión en líneas por segundo y t es el tiempo.

Calcule la ecuación general que describa las líneas transformadas por el compilador X, en cualquier intervalo de tiempo.

Calcule la cantidad de líneas transformadas por el compilador X, entre 5 y 7 segundos
NECESITO UNA RESPUESTA CON APLICACION DE LAS INTEGRALES, GRACIAS.

Answer 1

Si nos dan la siguiente función que describe la tasa de líneas de código traducidas por segundo por el software compilador:

$v(t)=ln(x^2+1)$

Por lo que para hallar las líneas convertidas en un intervalo de tiempo hay que integrar la función, lo haremos por el método de integración por partes:

$\int\limits^{}_{} {u} \, dv =uv-\int\limits^{}_{} {v} \, du$

Donde hacemos:

$u=ln(x^2+1)=> \frac{du}{dx}=\frac{2x}{1+x^2}\\\\dv=1=> v=x$

La expresión queda:

$\int\limits^{}_{} {ln(x^2+1)} \, dx =xln(x^2+1)-\int\limits^{}_{} {x\frac{2x}{x^2+1}} \, dx\\\\\int\limits^{}_{} {ln(x^2+1)} \, dx =xln(x^2+1)-2\int\limits^{}_{} {\frac{x^2}{x^2+1}} \, dx\\\\\int\limits^{}_{} {ln(x^2+1)} \, dx =xln(x^2+1)-2\int\limits^{}_{} {\frac{x^2+1-1}{x^2+1}} \, dx$

Desarrollando la segunda integral:

$\int\limits^{}_{} {ln(x^2+1)} \, dx =xln(x^2+1)-2\int\limits^{}_{} {\frac{x^2+1-1}{x^2+1}} \, dx\\\\\int\limits^{}_{} {ln(x^2+1)} \, dx =xln(x^2+1)-2(\int\limits^{}_{} {\frac{x^2+1}{x^2+1}} \, dx-\int\limits^{}_{} {\frac{1}{x^2+1}} \, dx)\\\\\int\limits^{}_{} {ln(x^2+1)} \, dx =xln(x^2+1)-2(x-arctg(x))\\\\\int\limits^{}_{} {ln(x^2+1)} \, dx =xln(x^2+1)-2x+2arctg(x)$

La expresión que acabamos de hallar es la cantidad de líneas que el compilador habrá traducido desde el inicio de la compilación hasta un tiempo t en segundos.

De modo que si se quiere hallar la cantidad de líneas compiladas en un cierto intervalo habrá que hallar la cantidad de líneas para el supremo de ese intervalo y luego restarle la cantidad de líneas en el ínfimo del mismo.

Con lo cual la cantidad Q(t) a los t segundos desde el inicio de la compilación es:

$Q(t)=xln(x^2+1)-2x+2arctg(x)$

Y la cantidad de líneas compiladas entre el segundo 5 y el segundo 7 es:

$Q(7)-Q(5)=[7.ln(7^2+1)-2.7+2arctg(7)]-[5.ln(5^2+1)-2.5+2arctg(5)]\\Q(7)-Q(5)=[27,384-14+2,8578]-[16,2905-10+2,7468]=7,205$

Con lo que entre 5 y 7 segundos después de iniciada la compilación el compilador tradujo a lenguaje de bajo nivel 7 líneas.