Question

Verificar que la función y = f(x), definida implícitamente por (1 + x)e
y/x = x, es solución de la ecuación diferencial:
x3y''=(xy'-y)2

Answer 1

Se verifica que la función $\bold{(1+x){e}^{\frac{y}{x}}=x}$, es solución de la ecuación diferencial:  $\bold{{x}^{3}y''=(xy'-y)^{2}}$

Explicación:

1. En principio debemos despejar de la función implícita a  y  como una función explicita de  x:

$(1+x){e}^{\frac{y}{x}}=x \quad \Rightarrow \quad {e}^{\frac{y}{x}}=\frac{x}{(1+x)}\qquad \Rightarrow$

$Ln[{e}^{\frac{y}{x}}]=Ln[\frac{x}{(1+x)}] \quad \Rightarrow \quad \frac{y}{x}=Ln[\frac{x}{(1+x)}] \qquad \Rightarrow$

$\bold{y=xLn[\frac{x}{(1+x)}]}$

2. Ahora calcular la primera y la segunda derivadas de la función  y:

$y=xLn[\frac{x}{(1+x)}]$

$y'= Ln[\frac{x}{(1+x)}]+ \frac{1}{(1+x)}$

$y''= \frac{1}{x(1+x)^{2}}$

3. Luego sustituir  y,  y',  y''  en la ecuación diferencial y operar hasta comprobar la igualdad:

${x}^{3}y''=(xy'-y)^{2} \quad \Rightarrow \quad {x}^{3}[\frac{1}{x(1+x)^{2}}]=\left\{x[Ln[\frac{x}{(1+x)}]+ \frac{1}{(1+x)}]-[ xLn[\frac{x}{(1+x)}]]\right\}^{2} \qquad \Rightarrow$

$\frac{{x}^{2}}{(1+x)^{2}}=\left\{xLn[\frac{x}{(1+x)}]+ \frac{x}{(1+x)}-xLn[\frac{x}{(1+x)}]\right\}^{2} \quad \Rightarrow \quad \frac{{x}^{2}}{(1+x)^{2}}=[\frac{x}{(1+x)}]^{2}\qquad \Rightarrow$

$\bold{\frac{{x}^{2}}{(1+x)^{2}}=\frac{{x}^{2}}{(1+x)^{2}}}$

Se verifica que la función $\bold{(1+x){e}^{\frac{y}{x}}=x}$, es solución de la ecuación diferencial:  $\bold{{x}^{3}y''=(xy'-y)^{2}}$