Question

Solución Ecuaciones Diferenciales por series de potencia

y´´-2x=0

Answer 1

La solución general de la ecuación diferencial mediante series de potencias es la familia de funciones que sigue la ecuación:

$y=\frac{1}{3}x^{3}+C_2x+C_1; C_1,C_2\epsilon R$

Explicación:

La resolución de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias consiste en proponer como solución una serie polinómica de la forma:

$y=a_0+a_1x+a_2x^{2}+a_3x^{3}+....+a_nx^{n}\\\\y=\Sigma_{i=0}^{n}a_ix^{i}$

Reemplazamos la serie de potencias en la ecuación diferencial:

$y'=\Sigma_{i=0}^{n}i.a_ix^{n-1}\\\\y''=\Sigma_{i=0}^{n}i(i-1).a_ix^{i-2}$

$\Sigma_{i=0}^{n}i(i-1).a_ix^{i-2}-2x=0$

Para que esta ecuación se cumpla todos los coeficientes del polinomio tienen que valer cero:

$\Sigma_{i=0}^{n}i(i-1).a_ix^{i-2}-2x=0\\\\\\0(0-1)a_0x^{-2}+1(1-1)a_1x^{-1}+2(2-1)a_2+3(3-1)a_3x+4(4-1)a_4x^{2}+...+i(i-1).a_ix^{i-2}-2x=0\\\\2a_2+6a_3x+12a_4x^{2}+...+i(i-1).a_ix^{i-2}-2x=0$

Nos queda para los coeficientes de la serie que los dos primeros pueden tomar cualquier valor real, y el segundo y todos los que siguen al tercero tienen que ser 0, con lo que queda:

$a_0=C_1, C_1\epsilon R\\a_1=C_2, C_2\epsilon R\\a_2=0\\a_i|_{i>3}=0\\\\6a_3=2\\\\a_3=\frac{1}{3}$

Con lo que la función buscada queda definida como la siguiente familia de curvas:

$y=\frac{1}{3}x^{3}+C_2x+C_1; C_1, C_2\epsilon R$

Se necesita especificar al menos dos pares de valores (x,y) para hallar las dos constantes e individualizar una de esas funciones.