Question

determinar las coordenadas del vértice de la parábola y2 + ay + 2bx + 4c = 0

Answer 1

Las coordenadas de su vértice son x0 = (a² - 16c)/(8b) e y0 = -a/2

Para poder determinar las coordenadas del vértice de una parábola, debemos expresar esta en su forma canónica, es decir

$(y - y_0)^2 = k(x-x_0)$

Por lo que necesitamos completar cuadrados de la siguiente manera

$y^2 + ay = (y+\frac{a}{2})^2 - (\frac{a}{2})^2$

Esto se puede comprobar mediante una diferencia de cuadrados. Donde a² - b² = (a-b)(a+b)

Si hacemos esto, tenemos que la parábola toma la forma

$y^2 + ay + 2bx + 4c = 0\\\\(y + \frac{a}{2})^2 - (\frac{a}{2})^2 + 2bx + 4c = 0\\\\(y + \frac{a}{2})^2 = -2bx + \frac{a^2}{4} - 4c = -2b[x - (\frac{a^2}{8b} - \frac{2c}{b})]\\\\(y + \frac{a}{2})^2 = -2b(x - \frac{a^2 - 16c}{8a})$

Como vemos, la parábola ya está en su forma canónica por lo tanto, las coordenadas de su vértice son x0 = (a² - 16c)/(8b) e y0 = -a/2