Question

Determina el resultado de la expresión: 2019^2-2018^2+2017^2-2016^2+...+3^2-2^2+1^2

Answer 1

El resultado de la expresion es de  6111514

Explicación paso a paso:

Para resolver este problema debemos hallar la sucesión que modela tal comportamiento

n = 1    ⇒    2019²

n = 2   ⇒    -2018²

n = 3   ⇒    2017²

.

.

n = 2019  ⇒ 1²

an = (-1)ⁿ⁺¹ *(2020 - n)² o

an1 = (2020 - n)²         [1 - 2019]

an2 = -(2020 - 2n)²     [1 - 2018]

ant = an1 - an2

Resolvemos entonces la serie

Σ₁²⁰¹⁹ (2020 - n)²  + Σ₁²⁰¹⁸ -(2020 - 2n)²

Σ₁²⁰¹⁹ (4080400 - 4040n + n²)  + Σ₁²⁰¹⁸ -(4080400 - 8080n + 4n²)

• Σₓⁿ n = 1/2n(n + 1)
• Σₓⁿ n² = 1/6n(n + 1)(n+1)

Σ₁²⁰¹⁹ (4080400 - 4040n + n²) =(4080400*2019) - (4040*1/2*2019(2019 + 1)) + 1/6 2019*(2019 + 1)(2*2019 + 1)

Σ₁²⁰¹⁹ (4080400 - 4040n + n²)  = 2745429470

Σ₁²⁰¹⁸ -(4080400 - 8080n + 4n²) = (4080400*2018) - (8080*1/2*2018(2018 + 1)) + 4/6 2018*(2018 + 1)(2*2018 + 1) = 2739317956

Σ₁²⁰¹⁹ (2020 - n)²  + Σ₁²⁰¹⁸ -(2020 - 2n)² = 2745429470 - 2739317956

= 6111514