Question

Determinar la intersección de dos planos ABC y RST, si tenemos los planos P en los puntos A(2, 5, 10), B(5, 2, 16), C(9, 7, 13) y el plano Q en los puntos R(2, 3, 14), S(9, 4, 15), T(5, 7, 10).

Answer 1

La recta intersección entre los planos ABC y RST es$\frac{x+\frac{8758}{129}}{4}=\frac{y+\frac{4037}{129}}{-103}=\frac{z}{129}$

Desarrollo:

Según la extensión del primer postulado de Euclides, tres puntos en el espacio no alineados definen un plano al que pertenecen, este plano se puede determinar teniendo en cuenta que dos puntos definen un segmento que está contenido en el plano, tal segmento se puede considerar un vector. Tenemos para el plano ABC:

$AB=(5,2,16)-(2,5,10)=(5-2,2-5,16-10)=(3,-3,6)\\\\BC=(9,7,13)-(5,2,16)=(9-5,7-2,13-16)=(4,5,-3)$

El vector asociado al plano ABC es el que es perpendicular a todo vector incluido en el plano por lo que este será el producto vectorial entre los vectores hallados:

$ABxBC=det\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\3&-3&6\\4&5&-3\end{array}\right] =i((-3)(-3)-5.6)-j(3(-3)-4.6)+k(3.5-4(-3))=(-21;33;27)$

Ahora cualquier punto del plano satisface la ecuación del plano:

$-21x+33y+27z+d=0\\A=(2,5,10)=>-21(2)+33(5)+27(10)+d=0\\-42+165+270+d=0\\-21x+33y+27z-393=0$

Operando queda:

$-7x+11y+9z-131=0$

El mismo procedimiento aplicamos con el otro plano:

$RS=(9,4,15)-(2,3,14)=(2-9,3-4,14-15)=(-7,-1,-1)\\\\ST=(5,7,10)-(9,4,15)=(5-9,7-4,10-15)=(-4,3,-5)$

El producto vectorial da el vector asociado:

$RSxST=det\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\-7&-1&-1\\-4&3&-5\end{array}\right] =i((-1)(-5)-3.(-1))-j((-7)(-5)-(-4)(-1))+k((-7).3-(-4)(-1))=(8;-31;-25)$

Ahora cualquier punto, por ejemplo R satisface la ecuación del plano:

$8x-31y-25z+d=0\\R=(2,3,14)=>8(2)-31(3)-25(14)+d=0\\16-93-350+d=0\\8x-31y-25z-427=0$

El vector director de la recta intersección es perpendicular a los dos vectores asociados.

$v_1=(-7,11,9)\\v_2=(8,-31,-25)\\\\v_1xv_2=det\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\-7&11&9\\8&-31&-25\end{array}\right] =i(11(-25)-(-31).9)-j((-7)(-25)-8.9)+k((-7)(-31)-8.11)=(4,-103,129)$

Ahora hay que hallar un punto en común que tengan los dos planos, podemos hacerlo reemplazando en los dos planos una de las variables por 0, por ejemplo z:

$-7x+11y+9z-131=0\\8x-31y-25z-427=0\\\\-7x+11y+9.0-131=0\\8x-31y-25.0-427=0\\\\-7x+11y=131\\8x-31y=427$

Ahora resolvemos el sistema de ecuaciones por el método de la reducción:

$7Ec_2+8Ec_1\\8(-7x+11y=131)\\7(8x-31y=427)\\\\-56x+88y=1048\\56x-217y=2989\\-56x+56x+88y-217y=1048+2989\\\\y=-\frac{4037}{129}\\\\31Ec_2+11Ec_1\\31(-7x+11y=131)\\11(8x-31y=427)\\\\-217x+341y=4061\\88x-341y=4697\\-217x+88x+341y-341y=4061+4697\\\\x=-\frac{8758}{129}$

La recta queda, en su ecuación vectorial:

$(x,y,z)=(-\frac{8758}{129};-\frac{4037}{129};0)+\lambda(4,-103,129)$

O en su ecuación continua:

$\frac{x+\frac{8758}{129}}{4}=\frac{y+\frac{4037}{129}}{-103}=\frac{z}{129}$