Question

Dada la siguiente matriz. 1- calcular el rango por el método dé Gauss Jordan. 2- calcular el rango por él método de determinantes. 3- indique si existe dependencia o independencia lineal ​

Answer 1

El rango de la matriz por:

1. Método de Gauss Jordan.

Rango(B) = 4

2. Método de determinantes.

Rango(B) = 4

3. Es un sistema dependiente o independiente lineal.

Al aplicar el método de Gauss Jordan se puede ver que ninguna fila o columna es nula por lo tanto es linealmente independiente los elementos de la matriz.

Explicación:

Dada;

$\left[\begin{array}{ccccc}9&-12&2&1&3\\1&3&1&3&0\\0&-9&3&1&1\\1&4&0&-4&3\end{array}\right]$

1. Se reducirá la matriz aplicando el método de Gauss Jordan, llevarla a la identidad y el rango sera el número de filas diferentes de cero.  

$\left[\begin{array}{ccccc}9&-12&2&1&3\\1&3&1&3&0\\0&-9&3&1&1\\1&4&0&-4&3\end{array}\right]$

f₁   →  f₂

$=\left[\begin{array}{ccccc}1&3&1&3&0\\9&-12&2&1&3\\0&-9&3&1&1\\1&4&0&-4&3\end{array}\right]$

f₂-9f₁

f₄-f₁

$=\left[\begin{array}{ccccc}1&3&1&3&0\\0&-39&-7&-24&3\\0&-9&3&1&1\\0&1&-1&-7&3\end{array}\right]$

f₂  → f₄

$=\left[\begin{array}{ccccc}1&3&1&3&0\\0&1&-1&-7&3\\0&-9&3&1&1\\0&-39&-7&-24&3\end{array}\right]$

f₃+9f₂

f₄+3f₂

$=\left[\begin{array}{ccccc}1&3&1&3&0\\0&1&-1&-7&3\\0&0&-6&-62&28\\0&0&-46&-299&120\end{array}\right]$

-1/6f₃

$=\left[\begin{array}{ccccc}1&3&1&3&0\\0&1&-1&-7&3\\0&0&1&31/3&14/3\\0&0&-46&-299&120\end{array}\right]$

f₄+46f₃

[$=\left[\begin{array}{ccccc}1&3&1&3&0\\0&1&-1&-7&3\\0&0&1&31/3&14/3\\0&0&0&529/3&1004/3\end{array}\right]$

3/529f₄

[$=\left[\begin{array}{ccccc}1&3&1&3&0\\0&1&-1&-7&3\\0&0&1&31/3&14/3\\0&0&0&1&1004/529\end{array}\right]$

Rango(B) = 4

2.  Se debe tener una matriz cuadrada para aplicar determinante. Su rango sera mayor o igual a 4 si el determinante de las sub matices de orden 4 es diferente de cero.  

$\left[\begin{array}{cccc}9&-12&2&1\\1&3&1&3\\0&-9&3&1\\1&4&0&-4\end{array}\right]$

Diagonalizar la matriz;

$det=\left[\begin{array}{cccc}9&-12&2&1\\1&3&1&3\\0&-9&3&1\\1&4&0&-4\end{array}\right]$

f₂-f₁/9

f₄-f₁/9

$det=\left[\begin{array}{cccc}9&-12&2&1\\0&13/3&7/9&26/9\\0&-9&3&1\\0&16/3&-2/9&-37/9\end{array}\right]$

f₃ → f₂

$det=\left[\begin{array}{cccc}9&-12&2&1\\0&-9&3&1\\0&13/3&7/9&26/9\\0&16/3&-2/9&-37/9\end{array}\right]$

f₃ + 13/27f₂

f₄ + 16/27f₂

$det=\left[\begin{array}{cccc}9&-12&2&1\\0&-9&3&1\\0&0&20/9&91/27\\0&0&14/9&-95/27\end{array}\right]$

f₄ - 7/10f₃

$det=\left[\begin{array}{cccc}9&-12&2&1\\0&-9&3&1\\0&0&20/9&91/27\\0&0&0&-529/90\end{array}\right]$

det = 9(-9)(20/9)(-529/90)

det = 1058

El determinante es distintos de cero por lo tanto;

Rango(B) = 4