Question

Calcula la suma de los 5 primeros términos de una progresión geométrica, en la que el primer término es 1000 y el tercero es 40. Además hallar la suma de los infinitos términos.

Answer 1

Respuesta:

S₅ = 6248/5

Sn = 1250

Explicación paso a paso:

En una progresión geométrica cada termino excepto el primero se obtiene

multiplicando el termino anterior por una cantidad constante llamada razón.

an = Ultimo termino

a₁ = Primer termino = 1000

a₂ = Segundo termino = a₁ *r

a₃ = Tercer termino = a₁ * r * r = a₁* r²

a₃ = 40

40 = a₁ *r²             Pero a₁ = 1000

40 = 1000 * r²

40/1000  = r²        Simplificamos sacamos 40 ava

(40/40)/(1000/40) = r²

1/25 = r²

√1/25 = r

1/5 = r

Formula para hallar el ultimo termino de una progresión geométrica

an = a₁(r)ⁿ⁻¹

a₅ = 1000(1/5)⁵⁻¹         n = 5

a₅ = 1000(1/5⁴)

a⁵ = 1000 * 1/(5*5*5*5)

a₅ = 1000 * 1/625           Simplificamos sacamos 25ava

a₅ = 40/25                      Simplificamos sacamos 5ta

a₅ = 8/5

Formula para hallar la suma de los términos de una progresión geométrica = S

S =  (an*r - a₁)/(r - 1)

S = (8/5 * 1/5 - 1000)/(1/5 - 1)

S = (8/25 - 1000)/(1/5 - 1) Reducimos a común denominador 25

S = (8/25 - 25*1000/25)/(5/25 - 25/25)    

S = (8/25 - 25000/25)/((5 - 25)/5)

S = ((8 - 25000)/25)/(20/25)

S =  ((-24492)/25)/(-20/25) Simplificamos el 25

S = 24492/20                       Simplificamos sacamos 4ta

S = 6248/5

La suma de los términos infinitos.

Formula.

S =  (a₁)/(1 - r)

S = (1000)/(1 - 1/5)

S = (1000)/(5/5 - 1/5)    Reducimos a común denominador 5

                                       en el denominador

S = (1000)/(4/5)

S = (1000 * 5)/4             Simplificas el 4

S = 25 * 5

S = 1250