Question

. Si la suma de dos números es v5 y su
producto es 2, calcular la suma de sus
cuadrados.
a)6 b) 4 ()2 d) e)3​

Answer 1

Respuesta:

$x + y = \sqrt{5}$

$x = \sqrt{5} - y$

Sustituimos ''x'' por su equivalencia en la otra ecuación:

$xy = 2$

$( \sqrt{5} - y)y = 2$

$- y {}^{2} + y\sqrt{5} = 2$

Multiplicamos todo por (-1) para deshacernos del signo (-) en (-y^2):

$- 1( - y {}^{2} + y \sqrt{5} ) = - 1(2)$

$y {}^{2} - y \sqrt{5} = - 2$

$y {}^{2} - y\sqrt{5} + 2 = 0$

Resolvemos mediante la fórmula general del la ecuación cuadratica:

$y = \frac{ - ( - \sqrt{5} )+ - \sqrt{( - \sqrt{5} ) {}^{2} - 4(1)(2)} }{2(1)}$

$y = \frac{ \sqrt{5} + - \sqrt{5 - 8}}{2}$

$y = \frac{ \sqrt{5} + - \sqrt{ - 3} }{2}$

La raíz de un número negativa no existe en los números reales:

$y = \frac{ \sqrt{5} + - \sqrt{3} }{2} i$

Hay 2 soluciónes posibles:

$y1 = \frac{ \sqrt{5} + \sqrt{3} }{2} i$

$y2 = \frac{ \sqrt{5} - \sqrt{3} }{2} i$

''x'' es:

$x = \sqrt{5} - y$

''x'' también tiene 2 soluciónes posibles:

$x1 = \sqrt{5} - y1$

$x1 = \sqrt{5} - \frac{ \sqrt{5} + \sqrt{3} }{2} i$

$x1 = \frac{2 \sqrt{5} - (\sqrt{5} + \sqrt{3} )}{2} i$

$x1 = \frac{2 \sqrt{5} - \sqrt{5} - \sqrt{3} }{2} i$

$x1 = \frac{ \sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} i$

Y tambien:

$x2 = \sqrt{5} - y2$

$x2 = \sqrt{5} - \frac{ \sqrt{5} - \sqrt{3} }{2} i$

$x2 = \frac{2 \sqrt{5} - ( \sqrt{5} - \sqrt{3} )}{2} i$

$x2 = \frac{2 \sqrt{5} - \sqrt{5} + \sqrt{3} }{2} i$

$x2 = \frac{ \sqrt{5} + \sqrt{3} }{2} i$

Conjuntos soluciones:

$(x1)(y1) =( \frac{ \sqrt{5} - \sqrt{3} }{2}i )( \frac{ \sqrt{5} + \sqrt{3} }{2} i)$

$(x2)(y2) = ( \frac{ \sqrt{5} + \sqrt{3} }{2} i)( \frac{ \sqrt{5} - \sqrt{3} }{2} i)$

Ya que sabemos los valores de ''x'' & ''y'', ahora podemos calcular la suma de sus cuadrados.

Primero calculemos la suma de los cuadrados de (x1) & (y1):

$(x1) {}^{2} + (y1) {}^{2} =$

$( \frac{ \sqrt{5} - \sqrt{3} }{2} i) {}^{2} + ( \frac{ \sqrt{5} + \sqrt{3} }{2} i) {}^{2} =$

$\frac{( \sqrt{5} - \sqrt{3}) {}^{2} }{2 {}^{2} } i {}^{2} + \frac{( \sqrt{5} + \sqrt{3}) {}^{2} }{2 {}^{2} } i {}^{2}$

$\frac{5 - 2 \sqrt{5} \sqrt{3} + 3 }{4} (- 1) + \frac{5 + 2\sqrt{5} \sqrt{3} + 3 }{4} ( - 1)$

$\frac{(8 - 2 \sqrt{15} ) - 1}{4} + \frac{(8 + 2 \sqrt{15} ) - 1}{4}$

$\frac{ - 8 + 2 \sqrt{15} }{4} + \frac{ - 8 - 2 \sqrt{15} }{4}$

$\frac{ - 8 + 2 \sqrt{15} - 8 - 2 \sqrt{15} }{4}$

$\frac{ - 16}{4}$

$- 4$

La suma de los cuadrados de (x2) & (y2) es la misma, ya que son los mismos números, pero en orden opuesto, y en la suma, el orden de los factores no altera el producto (propiedad conmutativa).

El resultado es - 4.