Question

1.4 Dados los conjuntos A = { x / x ∈ N, 2 ≤ x ≤ 9 }, B = { 2, 4, 6, 8 }, C = { 3, 5, 7 }, D = { 2, 4 }, E = { 1, 3 }. Determinar en cada caso, cuál de estos conjuntos puede ser el conjunto X tal que:

a. X ⊂ A y X ⊂ A b. X ⊄ A y X ⊂ E

c. X ⊄ B y X ⊄ E d. X ⊂ A y X ⊂ E

e. X ⊄ C y X ⊂ D.

Answer 1

De acuerdo con el álgebra de conjuntos, el símbolo relación de inclusión ⊂ indica que un conjunto está incluido en otro, es decir es subconjunto de otro más amplio. Corolario de esto es, si por ejemplo sean dos conjuntos A y B tales que A⊂B, todos los elementos de A pertenecen al conjunto B pero no todos los elementos de B pertenecen a A.

a) Tenemos que la relación es X⊂A∧X⊂A, lo que equivale a decir simplemente X⊂A, de estos conjuntos tenemos que ver cuales cumplen la condición si es A={x/x∈N,2≤x≤9}, o dicho de otra forma A={x/x∈N∧x∈[2,9]}, o sea naturales y que pertenezcan a [2,9]:

• B y D tiene todos sus elementos naturales, y todos están en el intervalo [2,9], incluyendo al 2.
• C tiene todos sus elementos en el intervalo definido por A y son naturales.
• E, todos sus elementos son naturales pero el 1 no pertenece a A.

Por lo que tenemos que los conjuntos X/X⊂A son B,C y D.

b) La condición aquí es X⊄A∧X⊂E, bien, del punto anterior tenemos que B, C y D están incluidos en A, por lo que no estarían cumpliendo esta condición, A tampoco la estaría cumpliendo porque ya contiene al 2 que no es elemento de E.

E no está incluido en A ya que contiene a 1 que no es elemento de A, pero E no está incluido en E porque es el mismo conjunto, por lo que ningún conjunto cumple la condición planteada.

c) La condición es X⊄B∧X⊄E, del punto anterior vimos que ningún conjunto está incluido en E, por lo que A, B, C y D cumplen la condición de X⊄E, de ellos ¿Cuáles no están incluidos en B? bien:

• A tiene a todos los naturales entre 2 y 9 mientras que B tiene solo a los pares, por lo que A⊄B.
• C tiene a los números 3,5 y 7 ninguno de los cuales pertenece a B por lo que C⊄B.
• D tiene solo 2 y 4, ambos pertenecientes a B, por lo que D⊂B.
• E tiene solo a 1 y 3, ninguno pertenece a B por lo que E⊄B

Se concluye que de estos conjuntos A y C cumplen la condición X⊄B∧X⊄E.

d) La condición es X⊂A∧X⊂E, del punto B obtuvimos que todos lo conjuntos están incluidos en A salvo E, pero:

• B no está incluido en E porque ninguno de sus elementos pertenece a E
• C tampoco está en E porque tiene elementos que no son de E.
• D tampoco está incluido en E porque ninguno de sus elementos pertenece a E.
• Y E no está incluido en A.

Por lo que ninguno de estos conjuntos cumple la condición planteada.

e) La condición planteada es X⊄C∧x⊂D. Donde D solo tiene a 2 y 4. Como C y D no tienen elementos en común todo conjunto incluido en D no lo estará en C. Ahora bien, los únicos conjuntos X posibles tales que X⊂D son X={2} y X={4}. Por lo que ninguno de estos conjuntos cumple la condición planteada.