Question

1. Determine si el conjunto genera a R^3 :
S={(4,7,3),(-1,2,6),(2,-3,5)}

2. Determine si el conjunto es linealmente dependiente.

S={(-2,4),(1,-2)}

Answer 1

1) Para que un conjunto de vectores genere al espacio euclídeo es condición necesaria que contenga al menos tres vectores linealmente independientes, de este modo cualquier elemento del espacio puede representarse como una combinación lineal de estos vectores, al ser S un conjunto de 3 vectores, debe ser linealmente independiente. S es linealmente independiente si el determinante de la matriz que forman sus 3 vectores es distinto de cero:

$det\left[\begin{array}{c}S_1\\S_2\\S_3\end{array}\right] =det\left[\begin{array}{ccc}4&7&3\\-1&2&6\\2&-3&5\end{array}\right] =4(2.5-(-3).6)-7((-1).5-2.6)+3((-1)(-3)-2.2)=112+119-3=228$

El determinante es distinto de cero, lo que implica que S es linealmente independiente y por ende genera a $R^3$ porque cualquier elemento de $R^3$ puede representarse como:

$(x_0,y_0,z_0)=\alpha_1(4,7,3)+\alpha_2(-1,2,6)+\alpha_3(2,-3,5)$

Lo cual si se desglosa en las 3 coordenadas del espacio genera un sistema de ecuaciones en el que para todo punto del espacio (x0,y0,z0) existe un único grupo de valores $\alpha_1; \alpha_2; \alpha_3$ que lo satisface.

2) Para determinar si el conjunto es linealmente dependiente utilizamos el mismo método, hallar el determinante de la matriz que forman los vectores de S:

$det(S)=det\left[\begin{array}{c}S_1\\S_2\end{array}\right] =det\left[\begin{array}{ccc}-2&4\\1&-2\end{array}\right] =(-2)(-2)-1.4=0$

El determinante da cero lo que significa que el conjunto es linealmente dependiente, es decir existen combinaciones lineales entre dos o más de sus elementos. En efecto, el primer vector es el segundo multiplicado por -2.