Question

1:Se desea construir un anillo cuya diferencia entre
el radio mayor y el radio menor es igual a 5
unidades. Si el contorno exterior de la placa circular
está definido por la ecuación x2 + y2 – 16x – 10y =
32. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia
interior?
2:Al disparar una bala de un cañón alcanza una
distancia horizontal y vertical máxima de 5 m y 7 m,
respectivamente. ¿Cuál es la ecuación de la
trayectoria?
Por favor con calculos,Gracias

Answer 1

La ecuación de la circunferencia interna del anillo es $x_0^2+y_0^2-r^2=8^2+5^2-6^2=53$ y la trayectoria de la bala sigue la ecuación $y=-\frac{28}{25}x^2+\frac{28}{5}x$

Desarrollo:

1) Un anillo está definido por dos circunferencias concéntricas, es decir donde ambas comparten el mismo centro. El centro y el radio están explícitos en la ecuación ordinaria:

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$

En la cual r es el radio y $(x_0,y_0)$ las coordenadas del centro. Si desglosamos los cuadrados llegamos a la ecuación canónica:

$x^2-2x_0x+x_0^2+y^2-2y_0y+y_0^2-r^2=0\\\\x^2+y^2-2x_0x-2y_0y+x_0^2+y_0^2-r^2=0$

De los términos lineales podemos hallar fácilmente las coordenadas del centro:

$-2x_0=-16\\-2y_0=-10\\\\x_0=8\\y_0=5$

Y el radio de la circunferencia que es el radio externo del anillo es:

$x_0^2+y_0^2-r^2=-32\\(8)^2+(5)^2-r^2=-32\\64+25-r^2=-32\\r^2=121\\r=11$

Con lo que la circunferencia externa está centrada en (8,5) y su radio es 11, entonces si queremos que la diferencia entre radio interior y radio exterior sea 5, la circunferencia interior tiene que tener radio 6.

Los términos lineales de la circunferencia interior son iguales a la de la exterior ya que solo dependen del centro que tiene que ser el mismo que el de la externa. Y el término independiente es:

$x_0^2+y_0^2-r^2=8^2+5^2-6^2=53$

2) Por las leyes de la física sabemos que todo tiro oblícuo y horizontal sigue la trayectoria de una parábola. Interpretamos la distancia vertical como el desplazamiento vertical alcanzado por el proyectil y asumimos que el blanco está a la misma altura que el punto de disparo. Si establecemos el punto de disparo en el origen tenemos:

$f(0)=0\\f(5)=0$

Siendo la función:

$f(x)=ax^2+bx+c$

Reemplazando los puntos x=0 y x=5:

$a.0^2+b.0+c=0\\c=0\\\\5^2a+5b+c=0\\25a+5b=0$

Con lo que:

$b=-5a$

En toda función la condición de máximo es:

$f'(x)=0; f''(x)<0$

Las derivadas de la función son:

$f'(x)=2ax+b\\f''(x)=2a$

Entonces queda:

$a<0\\\\x_m=-\frac{b}{2a}$

Con lo que nos queda para la altura máxima:

$a(-\frac{b}{2a})^2-b.\frac{b}{2a}=7\\\\\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{2a}=7$

Reemplazamos b por -5a y queda:

$\frac{(-5a)^2}{4a}-\frac{(-5a)^2}{2a}=7\\\\\frac{25a}{4}-\frac{25a}{2}=7\\\\25a-50a=28\\a=-\frac{28}{25}\\\\b=-5a=\frac{28}{5}$

Siendo la ecuación de la trayectoria:

$f(x)=-\frac{28}{25}x^2+\frac{28}{5}x$