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Respuesta:
El mínimo común múltiplo de los números es 2520. Por lo tanto el menor número divisible entre 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 es 2520. Esto nos confirma que no hay ningún número menor a 500 que sea divisible entre esos números.
Explicación paso a paso:
#Paso 1: Para hallar el número, primero debemos ir descartando opciones:
a) Regla de divisibilidad del número diez: un número es divisible entre diez cuando termina en cero.
Como el número que buscamos debe terminar en cero para que sea divisible entre diez, descartamos todos los números que no terminan en cero.
Las opciones que tenemos son: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180, 190, 200, 210, 220, 230, 240, 250, 260, 270, 280, 290, 300, 310, 320, 330, 340, 350, 360, 370, 380, 390, 400, 410, 420, 430, 440, 450, 460, 470, 480 y 490.
b) Regla de divisibilidad del número nueve: un número es divisible nueve cuando al sumar sus cifras el resultado es un múltiplo de nueve.
Entonces, descartaremos todos los números que terminan en cero y que el resultado de la suma de sus cifras no sea un múltiplo de nueve.
Las opciones que nos quedan son: 90, 180, 270, 360 y 450.
Ya que estos números son divisibles entre nueve porque:
90 = 9 + 0 = 9
180 = 1 + 8 + 0 = 9
270 = 2 + 7 + 0 = 9
360 = 3 + 6 + 0 = 9
450 = 4 + 5 + 0 = 9
Nueve es múltiplo de nueve porque: 9 . 1 = 9
c) Regla de divisibilidad del número cuatro: un número es divisible entre cuatro cuando sus dos últimas cifras son múltiplos de cuatro.
Veamos cuál de las opciones anteriores son divisibles entre cuatro:
90 → Las dos cifras no son múltiplos de cuatro ya que no hay ningún número que multiplique a cuatro y como resultado nos de noventa.
180 → Sus dos últimos cifras sí son múltiplos de cuatro: 4 . 20 = 80 Entonces sí es divisible entre cuatro.
270 → Las dos últimas cifras forman el número 70. Este número no es múltiplo de cuatro, por lo tanto 270 no es divisible entre cuatro.
360 → 60 sí es múltiplo de cuatro, ya que: 15 . 4 = 60. Entonces 360 sí es divisible entre cuatro.
450 = 50 no es múltiplo de cuatro, por lo tanto 450 no es divisible entre cuatro.
Las dos únicas opciones que nos quedan son: 180 y 360.
#Paso 2: Nos fijamos si los dos números que nos quedaron son divisibles entre 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10.
El número 180 no es divisible entre siete ya que este número no lo divide exactamente:
180 : 7 = 25,71
El número 360 no es divisible entre siete ya que este número no lo divide exactamente:
360 : 7 = 51,42
Entonces como ninguno de los dos números es divisible entre siete, ya los descartamos.
Por lo tanto, podemos afirmar que no hay ningún número menor a 500 que sea divisible entre 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9 al mismo tiempo.
#Paso 3: Para saber cuál es el menor común múltiplo de todos los números hallamos el m.c.m:
Los números primos no se pueden descomponer en factores primos. Entonces nos quedan igual: 2 = 2 ; 3 = 3 ; 5 = 5 ; 7 = 7
Descomponemos en factores primos los números compuestos:
4 l 2
2 l 2
1
4 = 2 . 2 = 2²
6 l 2
3 l 3
1
6 = 2 . 3
8 l 2
4 l 2
2 l 2
1
8 = 2 . 2 . 2 = 2³
9 l 3
3 l 3
1
9 = 3 . 3 = 3²
Mcm = 2³ . 3² . 5 . 7 = 2520