Question

Una empresa construye acuarios rectangulares en forma de prisma con las siguientes características:

Capacidad: 15 m3.

Altura: 2.5 m.

Los costos de producción en USD / m2 son: 75, 85 y 60 para la base, la cubierta y los laterales, respectivamente.

¿Cuáles son las dimensiones que minimizan el costo de los acuarios? ¿Cuánto cuestan? Para responder esto, siga los siguientes pasos:

Haz un dibujo esquemático de la situación.

¿Cuáles son las variables conocidas y las desconocidas?

Escribe la ecuación de restricción.

Escribe la función objetivo.

Encuentra las dimensiones y el costo mínimo del acuario.

Answer 1

El costo mínimo del acuario es de 2430 USD y se alcanza cuando la base es cuadrada y de 2,45 metros de cada lado.

Explicación:

Para hallar el costo mínimo del acuario y las dimensiones que lo minimizan es necesario realizar algunos pasos.

Variables conocidas y desconocidas, entre las variables conocidas tenemos la altura del acuario y el volumen, con la cual se puede hallar el área de la base:

$h=2,5m\\V=15m^3$

$B=\frac{V}{h}=6m^2$

Las desconocidas son el las dimensiones de la base.

Ecuación de restricción: Es el conjunto de las combinaciones posibles de bienes y servicios que se pueden adquirir gastanto todo el capital de que se dispone, siendo C el monto total asignado para el acuario, esta sería así:

$C=c_b.B+c_c.T+c_l.L\\\\C=75.B+85T+60L$

Donde B es el área de la base, T la de la tapa y L la de toda el área lateral. Como la base y la tapa tienen el mismo tamaño hacemos:

$C=75.B+85B+60L=160B+60L$

Función objetivo:

Ahora tenemos que el volumen del acuario es:

$V=B.h=b_1.b_2.h$

Siendo b1 y b2 las dimensiones de la base, el área lateral:

$L=2b_1h+2b_2h=2h(b_1+b_2)$

Reemplazamos estos datos en la función restricción:

$C=160\frac{V}{h}+60(2h(b_1+b_2))=160\frac{V}{h}+120h(b_1+b_2)$

Reemplazamos la expresión del área de la base para poner todo en función de una sola variable:

$V=b_1b_2h\\b_2=\frac{V}{b_1h}\\\\C=160\frac{V}{h}+120h(b_1+\frac{V}{b_1h})=160\frac{V}{h}+120h\frac{b_1^2h+V}{b_1h}\\\\C=160\frac{V}{h}+120\frac{b_1^2h+V}{b_1}$

Ahora para hallar el valor de b1 que hace mínimo el costo hay que derivar esta expresión e igualarla a cero

Procedemos:

$C'=120\frac{(2b_1hb_1-(b_1^2h+V))}{b_1^2}=120\frac{b_1^2h-V}{b_1^2}$

Para que esta expresión sea nula basta que el numerador lo sea:

$b_1^2h-V=0\\\\b_1=\sqrt{\frac{V}{h}}=\ñ2,45m$

Una longitud negativa no tiene sentido así que nos quedamos con la solución positiva.

Con lo que b1=2,45 metros hace mínimo el costo.

En la expresión del volumen hallamos la otra dimensión de la base:

$V=b_1b_2h\\\\b_2=\frac{V}{b_1h}=2,45m$

Con lo cual b1=b2=2,45 son las dimensiones de la base que hacen mínimo el costo. Esto da un área de la base de 6 metros cuadrados, reemplazamos en la función restricción:

$B=(2,45m)^2=6m^2\\L=2h(b_1+b_2)=2.2,5(2,45+2,45)=24,5m^2\\\\C=160.6+60.24,5=2430$

Con lo cual el costo mínimo del acuario será de 2430USD