Question

Hola, necesito ayuda con esta demostración:


Considere el sistema Ax = b; b ≠ 0 (donde A es la matriz, x y b un vector, y 0 el vector cero) y det(A) = 0. ¿Puede afirmar que el sistema tiene infinitas soluciones?


Gracias!

Answer 1

No se puede afirmar que un sistema Ax=b con |A|=0, es un sistema compatible indeterminado, es decir tiene infinitas soluciones.

Desarrollo:

Si es |A|=0, eso indica que al menos dos filas de la matriz A son linealmente dependientes, siendo A la matriz de coeficientes. Ahora sea la matriz ampliada A', si A es nxn, A' es nx(n+1) donde la columna n+1 es la matriz de términos independientes B:

$A'=[A|B]; A\epsilon R^{nxn}~y~B\epsilon R^{nx1}$

Para que el sistema sea compatible indeterminado es necesario que A' tenga al menos dos filas linealmente dependientes. Si las filas de A' son todas linealmente independientes y |A|=0, el sistema será incompatible (es decir no tendrá solución), y en cambio si tanto las filas de A como las de A' son linealmente independientes el sistema es compatible determinado (tendrá una unica solución).

Con lo que, tener |A|=0 siendo A la matriz de coeficientes no permite concluir que el sistema es compatible indeterminado, pues un sistema incompatible también tendrá |A|=0.