Question

considere un plano inclinado de 16 m de altura. Cuatro objetos de diferentes materiales tienen la misma masa de 3 kg: un aro circular un disco, una esfera y una caja. Suponga que la friccion es insignificante para la caja, pero hay suficiente fricción para los objetos rodantes rueden sin deslizarse. Al calcular las velocidades finales en cada caso, determine el orden en el cual llegan al punto más bajo del plano.

Answer 1

Vamos a analizar el comportamiento de cada cuerpo al caer por el plano inclinado por el método de la conservación de la energía mecánica. Vamos a suponer que el aro y el disco ruedan toda la carrera sin caerse. La caja, como no va a rotar sino que se desliza por el plano sin fricción se puede considerar como un punto material, si parte del reposo tenemos:

$Mgh=\frac{1}{2}Mv^2$

En cuanto a los otros cuerpos, como van a rodar, parte de la energía se invierte en energía cinética rotacional por lo que vamos a tener:

$Mgh=\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{2}Iw^2$

Donde I es el momento de inercia y w la velocidad angular. Los momentos de inercia del aro, el disco y la esfera son:

$I_{A}=MR^2\\\\I_{D}=\frac{MR^2}{2}\\\\I_{E}=\frac{2}{5}MR^2$

Reemplazando estas expresiones tenemos para el aro:

$Mgh=\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{2}MR^2w^2=\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{2}MR^2\frac{v^2}{R^2}=Mv^2$

Para el disco:

$Mgh=\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{2}MR^2w^2=\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{2}\frac{1}{2}MR^2\frac{v^2}{R^2}=\frac{3}{4}Mv^2$

Y para la esfera:

$Mgh=\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{2}MR^2w^2=\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{2}\frac{2}{5}MR^2\frac{v^2}{R^2}=\frac{7}{10}Mv^2$

Con lo cual las velocidades finales son:

$v_{c}=\sqrt{2gh}=\sqrt{2.9,8.16}=17,7\frac{m}{s}\\\\v_{aro}=\sqrt{gh}=\sqrt{16.9,8}=12,5\frac{m}{s}\\\\v_{disco}=\sqrt{\frac{4}{3}gh}=14,5\frac{m}{s}\\\\v_{esfera}=\sqrt{\frac{10}{7}gh}=15\frac{m}{s}$

Bien, todos estos objetos siguen un movimiento uniformemente acelerado al caer por el plano inclinado, si queremos hallar el tiempo que tarda cada uno en caer y suponiendo que parten del reposo tenemos:

$yf=\frac{1}{2}at^2\\\\t=\sqrt{\frac{2y_f}{a}}$

Y en términos de la velocidad final tenemos:

$v=a.t\\a=\frac{v}{t}\\\\t=\sqrt{\frac{2y_f}{\frac{v_f}{t}}}=\sqrt{t\frac{2y_f}{v_f}}$

Elevando al cuadrado en ambos miembros:

$t^2=t\frac{2y_f}{v_f}\\\\t=\frac{2y_f}{v_f}$

De donde se puede concluir que a mayor velocidad final menor tiempo es el que dura la caída, por lo que:

Los objetos llegan al final del plano inclinado en este orden: caja, esfera, disco, aro. Lo cual tiene lógica ya que cuanto mayor es el momento de inercia de un cuerpo mayor es la proporción de energía mecánica invertida en forma de energía cinética rotacional.