Question

Desde la parte alta de un plano inclinado, cuya inclinación es 12° se arroja una piedra con una velocidad inicial 67 m/s , la cual es perpendicular al plano. La distancia del punto de lanzamiento a la cual cae la piedra es?

Answer 1

Si la piedra es arrojada desde el plano inclinado con pendiente de 12°, y dicen que la velocidad inicial es perpendicular al plano, esta tiene un ángulo de 90°-12°=78°, la piedra describirá un movimiento de tiro oblícuo en el que vamos a suponer que el alcance está dentro del plano inclinado, tenemos:

$y=y_0+v_0.sen(\theta)t-\frac{1}{2}gt^2\\\\x=x_0+v_0.cos(\theta)t$

Componiendo estas dos ecuaciones podemos hallar la curva que describe el movimiento de la piedra, de la ecuación de movimiento horizontal despejamos el tiempo.

$x=x_0+v_0cos(\theta)t\\\\t=\frac{x-x_0}{v_0cos(\theta)}$

Y reemplazamos en el movimiento vertical:

$y=y_0+v_0.sen(\theta)(\frac{x-x_0}{v_0cos(\theta)})-\frac{1}{2}g(\frac{x-x_0}{v_0cos(\theta)})^2\\\\y=y_0+(x-x_0).tan(\theta)-\frac{1}{2}g(\frac{x-x_0}{v_0cos(\theta)})^2$

Vamos a tomar como punto de partida las coordenadas (0,0), nos queda:

$y=x.tan(\theta)-\frac{1}{2}g(\frac{x}{v_0cos(\theta)})^2$

Como estamos en un plano inclinado de 12° de pendiente la posición vertical final es:

$y_f=-x_f.tan(12\°)$

Nos queda:

$-x_f.tan(12\°)=x_f.tan(78\°)-\frac{1}{2}g(\frac{x_f}{v_0cos(78\°)})^2$

Ahora cancelamos xf y despejamos la posición final:

$-tg(12\°)=tg(78\°)-\frac{1}{2}g\frac{x_f}{v_0^2cos^2(78\°)}\\\\\frac{1}{2}g\frac{x_f}{v_0^2cos^2(78\°)}=tg(12\°)+tg(78\°)\\\\x_f=2(tg(12\°)+tg(78\°))\frac{v_0^2cos^2(78\°)}{g}$

Reemplazando queda:

$x_f=2(0,2126+4,7046)\frac{(67)^2(0,2079)^2}{9,8}=195m.$

Con lo que la piedra impacta a 195 metros del punto de lanzamiento.