Respuestas
Respuesta:Tipos de números periódicos
Número periódico puro: cuando inmediatamente después de la coma hay una o más cifras que se repiten.
Ejemplo: {\displaystyle 0,777\dots =0,{\overset {\frown }{7}}}{\displaystyle 0,777\dots =0,{\overset {\frown }{7}}}
Número periódico mixto (también llamado semiperiódico): cuando después de la coma hay una o más cifras que no se repiten, seguidas por una o más cifras que sí se repiten.
Ejemplo: {\displaystyle 1.91222\dots =1.91{\overset {\frown }{2}}}{\displaystyle 1.91222\dots =1.91{\overset {\frown }{2}}}, en donde 91 son las cifras que no se repiten y 2... son las cifras que se repiten.
Fracción correspondiente a un número periódico
Una fracción puede dar un número decimal periódico:
{\displaystyle {\begin{array}{l}{\cfrac {1}{9}}=0,111111111111...\\{\cfrac {1}{7}}=0,142857142857...\\{\cfrac {1}{3}}=0,3333333333333...\\{\cfrac {2}{27}}=0,07407407407407...\\{\cfrac {7}{12}}=0,58333333333...\end{array}}}{\displaystyle {\begin{array}{l}{\cfrac {1}{9}}=0,111111111111...\\{\cfrac {1}{7}}=0,142857142857...\\{\cfrac {1}{3}}=0,3333333333333...\\{\cfrac {2}{27}}=0,07407407407407...\\{\cfrac {7}{12}}=0,58333333333...\end{array}}}
Dado un número periódico en su representación decimal, es posible encontrar la fracción que lo produce (fracción generatriz). Ejemplo:
{\displaystyle {\begin{array}{rcll}x&=&0,333333\ldots \\10x&=&3,333333\ldots &{\text{(multiplicando por 10 ambos miembros)}}\\9x&=&3&{\text{(restando segunda fila menos primera fila)}}\\\\x&=&{\cfrac {3}{9}}={\cfrac {1}{3}}&{\text{(simplificando)}}\end{array}}}{\displaystyle {\begin{array}{rcll}x&=&0,333333\ldots \\10x&=&3,333333\ldots &{\text{(multiplicando por 10 ambos miembros)}}\\9x&=&3&{\text{(restando segunda fila menos primera fila)}}\\\\x&=&{\cfrac {3}{9}}={\cfrac {1}{3}}&{\text{(simplificando)}}\end{array}}}
Otro ejemplo:
\end{array}
</math>
{\displaystyle x={\frac {282,78}{99}}={\frac {28278}{9900}}={\frac {1571}{550}}}{\displaystyle x={\frac {282,78}{99}}={\frac {28278}{9900}}={\frac {1571}{550}}}
El procedimiento anterior es general y permite enunciar las siguientes reglas:
Número periódico puro: La fracción de un número decimal periódico puro tiene:
numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
denominador: tantos 9 como cifras tiene el período
Ejemplo:
{\displaystyle 11,36\ 36\dots ={\frac {1136-11}{99}}={\frac {1125}{99}}}{\displaystyle 11,36\ 36\dots ={\frac {1136-11}{99}}={\frac {1125}{99}}}
Número periódico mixto: La fracción de un número decimal periódico mixto tiene:
numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
denominador: tantos 9 como cifras tiene el período, seguidos de tantos 0 como cifras tiene la parte no periódica.
Ejemplo:
{\displaystyle 12,345\ 67\ 67\ 67\dots ={\frac {1234567-12345}{99000}}={\frac {1222222}{99000}}={\frac {611111}{49500}}}{\displaystyle 12,345\ 67\ 67\ 67\dots ={\frac {1234567-12345}{99000}}={\frac {1222222}{99000}}={\frac {611111}{49500}}}
Tipo de número periódico resultante
Dada una fracción irreducible (es decir, en la que numerador y denominador son primos entre sí, y por tanto no se puede simplificar más) es sencillo saber si corresponde a un número periódico puro, mixto, o es un decimal exacto, sin necesidad de hacer la división:
Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos son sólo el 2 y/o el 5, será exacta.
Por ejemplo:
{\displaystyle {\cfrac {7}{20}}}{\displaystyle {\cfrac {7}{20}}}
como:
{\displaystyle 20=2\cdot 2\cdot 5}{\displaystyle 20=2\cdot 2\cdot 5}
será exacta; en efecto
{\displaystyle {\cfrac {7}{20}}={\cfrac {7}{2\cdot 2\cdot 5}}={\cfrac {7}{2\cdot 2\cdot 5}}\;{\cfrac {5}{5}}={\cfrac {7\cdot 5}{(2\cdot 5)(2\cdot 5)}}={\cfrac {35}{100}}=0,35}{\displaystyle {\cfrac {7}{20}}={\cfrac {7}{2\cdot 2\cdot 5}}={\cfrac {7}{2\cdot 2\cdot 5}}\;{\cfrac {5}{5}}={\cfrac {7\cdot 5}{(2\cdot 5)(2\cdot 5)}}={\cfrac {35}{100}}=0,35}