Question

Calcule la integral correspondiente a su número de desafío con cada uno de los métodos indicados abajo:

Answer 1

Respuesta:

$\int\limits^1_0 {\frac{4}{1+x^2} } \, dx=\pi$

Explicación paso a paso:

$\int\limits^1_0 {\frac{4}{1+x^2} } \, dx$

podemos hacer la siguiente sustitución:

$x=tan(\alpha )\\dx=sec^2(\alpha )d\alpha$

realizando el cambio en la integral dada:

$\int\limits^1_0 {\frac{4}{1+x^2} } \, dx$

$\int\limits^1_0 {\frac{4}{1+tan^2(\alpha)} } *sec^2(\alpha) d\alpha$

utilizando la identidad trigonometrica

$sec^2(\alpha)=1+tan^2(\alpha )$

reemplazamos en la integral:

$\int\limits^1_0 {\frac{4}{sec^2(\alpha)} } *sec^2(\alpha) d\alpha$

simplificando la expresion tenemos:

$\int\limits^1_0 {\frac{4}{1} } *1d\alpha$

$\int\limits^1_0 {4} d\alpha$

resolviendo la integral se tiene:

$4\alpha$

como se había realizado la sustitución de

$x=tan(\alpha )$

despejamos $\alpha$:

$\alpha=tan^{-1}(x)$:

y reemplazamos en el resultado de la integral, quedando:

$4\alpha$

$4tan^{-1}(x)$

y evaluamos este resultado en los limites de la integral:

$4tan^{-1}(x) \|^1_0$

$4tan^{-1}(1)-4tan^{-1}(0)$

$4*\frac{\pi}{4}-0$

Simplificando da:

$\frac{4\pi}{4}$

$\pi$