Question

Evalúe la ganancia en la precisión usando las fórmulas de diferencias finitas hacia adelante, atrás y central, en la evaluación de la primera derivada de la función f(x)=e^x en x=1, con h=0.1, comparada con la solución analítica (exacta).

Answer 1

Las fórmulas de las diferencias finitas son un método para aproximar la derivada de una función en un punto del dominio x evaluada en un entorno de amplitud h, estas son la diferencia finita posterior:

$\Delta f(x)=f(x+h)-f(h)$

La diferencia finita anterior:

$\nabla f(x)=f(x)-f(x-h)$

Y la diferencia finita central:

$\delta f(x)=f(x+\frac{h}{2})-f(x-\frac{h}{2})$

Y las derivadas aproximadas son:

$f'(x)_p=\frac{\Delta f(x)}{h};f'(x)_a=\frac{\nabla f(x)}{h}f'(x)_c=\frac{\delta f(x)}{h}$

Ahora reemplazando por los datos del problema tenemos:

$f(x)=e^x\\h=0,1\\\\f'(x)_p=\frac{e^{1,1}-e^{1}}{0,1}=2,85884\\\\f'(x)_a=\frac{e^{1}-e^{0,9}}{0,1}=2,58679\\\\f'(x)_c=\frac{e^{1,05}-e^{0,95}}{0,1}=2,71941$

La derivada de la función en x=1 obtenida analíticamente es;

$f'(x)=e^{x}=e^1=2,71828$

Valor que tomamos como exacto. Con lo cual, el análisis con el método de la diferencia finita central da un resultado exacto hasta el segundo dígito decimal, mientras que el método de las diferencias finitas anterior y posterior solo dan un resultado exacto en la parte entera.