Question

El estudiante interpreta los diferentes axiomas, operaciones y propiedades relacionadas con espacios vectoriales para la realización de demostraciones matemáticas.

Answer 1

4. El rango de la matriz B por:

1. Método de Gauss Jordan.

Rango(B) = 3

2. Método de determinantes.

Rango(B) = 3

3. Es un sistema dependiente o independiente lineal.

Al aplicar el método de Gauss Jordan se puede ver que ninguna fila o columna es nula por lo tanto es linealmente independiente los elementos de la matriz B.

1. El conjunto S ={(1,0,3), (2,0,-1), (2,0,6)} No genera a r³.

2. El conjunto S = {(-2,2), (3,5)} es linealmente independiente.

Dados los vectores u, v, w y los escalares a y b.

i) (13,5,14) = (13,5,14) = (13,5,14)

ii) au-(v+bw) = (68,-6,31)

Se demuestra:

u × k(w) = k(u×w)

Explicación:

Dada;

$B=\left[\begin{array}{cccc}-7&-1&3\\11&1&4\\9&7&2\\3&8&4\end{array}\right]$

1. Se reducirá la matriz aplicando el método de Gauss Jordan, llevarla a la identidad y el rango sera el número de filas diferentes de cero.  

$=\left[\begin{array}{cccc}-7&-1&3\\11&1&4\\9&7&2\\3&8&4\end{array}\right]$

-1/7f₁

$=\left[\begin{array}{cccc}-7&1/7&-3/7\\11&1&4\\9&7&2\\3&8&4\end{array}\right]$

f₂-11f₁

f₃-9f₁

f₄-3f₁

$=\left[\begin{array}{cccc}-7&1/7&-3/7\\0&-4/7&61/7\\0&40/7&41/7\\0&53/7&37/7\end{array}\right]$

-7/4f₂

$=\left[\begin{array}{cccc}-7&1/7&-3/7\\0&1&-61/4\\0&40/7&41/7\\0&53/7&37/7\right]$

f₃-40/7f₂

f₄-53/7f₂

$=\left[\begin{array}{cccc}-7&1/7&-3/7\\0&1&-61/4\\0&0&93\\0&0&483/4\end{array}\right]$

1/93f₃

$=\left[\begin{array}{cccc}-7&1/7&-3/7\\0&1&-61/4\\0&0&1\\0&0&483/4\end{array}\right]$

f₄-483/4f₃

$=\left[\begin{array}{cccc}-7&1/7&-3/7\\0&1&-61/4\\0&0&1\\0&0&0\end{array}\right]$

Rango(B) = 3

2.  Se debe tener una matriz cuadrada para aplicar determinante. Su rango sera mayor o igual a 3 si el determinante de las sub matices de orden 3 es diferente de cero.  

$det\left[\begin{array}{ccc}-7&-1&3\\11&1&4\\9&7&2\end{array}\right]$

= -7[(1)(2)-(1)(3)]-[(11)(2)-(9)(4)]+3[(11)(7)-(9)(1)]

= 7+14+204

= 225

El determinante es distintos de cero por lo tanto;

Rango(B) = 3  

1. S ={(1,0,3), (2,0,-1), (2,0,6)}

Para que el conjunto S genere el espacio r³, debe ser vectores linealmente independientes, los cuales se pueden expresar como una combinación lineal.  

α₁(1,0,3)+α₂(2,0,-1)+α₃(2,0,6) = (0,0,0)  

α₁ + 2α₂ + 2α₃ = 0  

3α₁ - α₂ + 6α₃ = 0  

El determinante formado por la matiz de coeficientes del sistema, si este dar distinto de cero el sistema el linealmente independiente.  

$det\left[\begin{array}{ccc}1&2&2\\0&0&0\\3&-1&6\end{array}\right]$  

= [(0)(6)-(-1)(0)]-2[(0)(6)-2(3)(0)]+2[(0)(-1)-(3)(0)]  

= 0

El sistema es linealmente dependiente por lo tanto no genera R³.

2. S = {(-2,2), (3,5)}

α₁(-2,2)+α₂(3,5) = (0,0)

-2α₁ + 3α₂ = 0

2α₁ + 5α₂ = 0

$det\left[\begin{array}{cc}-2&3\\2&5\end{array}\right]$

= -2(5)-3(2)  

= -16

El conjunto es linealmente independiente.

i) (u+v)+w=u+(v+w)=(u+w)+v

Aplicar suma de vectores;  

(u+v)+w = [(3,5,7)+(1,2,4)] +(9,-2,3)

(u+v)+w = (3+1, 5+2, 7+4) + (9,-2,3)

(u+v)+w = (4,7,11) + (9,-2,3)

(u+v)+w = (13, 5, 14)

u+(v+w) =  (3,5,7) + [(1,2,4)] +(9,-2,3)]

u+(v+w) =  (3,5,7) + (10,0,7)

u+(v+w) = (13,5,14)

(u+w)+v  = [(3,5,7) + (9,-2,3)] + (1,2,4)

(u+w)+v  = (12,3,10) + (1,2,4)

(u+w)+v  = (13,5,14)

ii) Calcular: au-(v+bw)

Aplicar suma, resta y producto de un escalar por un vector;

au-(v+bw) = 2(3,5,7) - [(1,2,4)+(-7)(9,-2,3)]

au-(v+bw) = (6,10,14) - [(1,2,4)+(-63,14,-21)]

au-(v+bw) = (6,10,14) - (-62,16,-17)

au-(v+bw) = (68,-6,31)

Sean u y w en R³, y k un número escalar.

u × k(w) = k(u×w)

u × k(w)

= (u₁ u₂ u₃) × (kw₁ kw₂ kw₃)

= (u₂kw₃ - u₃kw₂ ; u₁kw₃ - u₃kw₁ ; u₁kw₂ - u₂kw₁)

k(u×w)

= k[(u₁ u₂ u₃) × (w₁ w₂ w₃)]

= k(u₂w₃ - u₃w₂ ; u₁w₃ - u₃w₁ ; u₁w₂ -u₂w₁)

= (ku₂w₃ - ku₃w₂ ; ku₁w₃ - ku₃w₁ ; ku₁w₂ - ku₂w₁)

(u₂kw₃ - u₃kw₂ ; u₁kw₃ - u₃kw₁ ; u₁kw₂ - u₂kw₁) = (ku₂w₃ - ku₃w₂ ; ku₁w₃ - ku₃w₁ ; ku₁w₂ - ku₂w₁)

Se demuestra que son iguales;