Question

El radio de un polígono regular es 3u., su apotema 2.772u. Calcular su área​

Answer 1

El área del polígono es de 41,8 unidades cúbicas.

Desarrollo:

En un polígono regular, la apotema es siempre:

$ap=r.cos(\theta)$

Donde ap es la apotema y r el radio de la circunferencia en que se inscribe, y el área se puede expresar como:

$A=n\frac{l.ap}{2}$

Donde n es el número de lados y l la longitud de cada lado, porque el polígono se divide en n triángulos isósceles iguales delimitador por los diámetros del polígono cuyos ángulos varían con la cantidad de lados. Y en concreto el ángulo de la primera expresión es:

$\theta = \frac{360\°}{n}$

Hallamos el ángulo:

$\theta = arccos(\frac{ap}{r})=arccos(\frac{2,772}{3})=22,5\°$

Con este valor hallamos el número de lados:

$n=\frac{360\°}{22,5\°}=16$

El polígono tiene 16 lados, ahora la longitud del lado es:

$l=2.r.sen(\theta)=2.3.sen(22,5\°)=2,3$

Porque la apotema y el radio forman un triángulo rectángulo donde el cateto opuesto es la mitad del lado. Ahora el área del polígono es:

$A=16\frac{2,3.2,772}{2}=41,8u^3$