En la figura 10 se muestra un recipiente (cilindro recto) que está lleno de agua hasta una altura 12,6 metros. A una profundidad 2,60 metros bajo la superficie del agua se taladra un orificio. Determinar:
A. La velocidad con que sale el agua del orificio
B. El alcance x del chorro medido desde la base del cilindro.
C. A qué profundidad h se debe realizar un orificio para que el alcance x sea máximo.
D. A qué profundidad debe abrirse otro orificio para que el alcance sea el mismo que el inciso b)
Respuestas
La velocidad con que sale el agua del orificio es V = 7.14 m/s
El alcance x del chorro medido desde la base del cilindro es dx = 10.21 m
La qué profundidad h se debe realizar un orificio para que el alcance x sea máximo dy1 = 6.30m
La qué profundidad debe abrirse otro orificio para que el alcance sea el mismo que el inciso b) es dy = 2.61m
La velocidad de salida se obtiene de la siguiente ecuación derivada de teorema de Torriceili:
- V = √ (2 * g * h)
- V = √ (2 * 9.81m/s² * 2.60m)
- V = 7.14 m/s
Tratamos al chorro como una partícula cayendo en un movimiento parabólico, descomponemos en eje "X" y "Y" su movimiento.
En el eje horizontal "X", es un MRU:
- V = d / t
- dx = V * t
- 1) dx = 7.14 m/s * t
En la componente vertical "Y", es un MRUV aplicamos la siguiente ecuación para hallar el tiempo que tarda el chorro en llegar al suelo (tv):
- dy = Voy*t + (1/2) * g * t²
- (12.60m - 2.60 m) = 0 + 0.5 * 9.81m/s² * t²
- t² = 2.04s²
- t = 1.43s
Sustituimos el valor obtenido del tiempo de vuelo en la ecuación 1):
- dx = 7.14 m/s * t
- dx = 7.14 m/s * 1.43s
- dx = 10.21 m
Para que el alcance sea máximo se debe cumplir que dx = H = 12.6m, entonces usamos las mismas ecuaciones pero usamos dx = 12.6m
- V = d / t
- t = dx / V
- t = 12.6m / V
- t = 12.6m / √ (2 * g * h)
- t = 12.6m / √ (2 * 9.81m/s² * dy)
- 1) t = 12.60m / √ (19.62m/s² * dy)
- d = Voy*t + (1/2) * g * t²
- 12.60m-dy = 0 + 0.5 * 9.81m/s² * t²
- 12.60m - dy = 4.91m/s² * t²
- 2) dy = 12.60m - 4.91m/s² * t²
Sustituyo ecuación 1) en ecuación 2):
- dy = 12.60m - ( 4.91m/s² * ( 12.60m / √ (19.62m/s² * dy) )² )
- dy = 12.60m - ( 4.91m/s² * (158.76m² / 19.62m/s² * dy) )
- dy = 12.60m - ( 779.51m³/s² / (19.62m/s² * dy) )
- dy = 12.60m - 39.69m²/ dy
- dy² = 12.60m * dy - 39.69m²
- dy² - 12.60m * dy + 39.69m² = 0, ==> Resolver Ec. cuadrática:
- dy1 = 6.30m
Para que el alcance sea el mismo que en el inciso anterior, usamos las mismas ecuaciones pero usamos dx = 10.21m:
- V = d / t
- t = dx / V
- t = 10.21m / V
- t = 10.21m / √ (2 * g * h)
- t = 10.21m / √ (2 * 9.81m/s² * dy)
- 1) t = 10.21m / √ (19.62m/s² * dy)
- d = Vo*t + (1/2) * g * t²
- 12.60m-dy = 0 + 0.5 * 9.81m/s² * t²
- 12.60m - dy = 4.91m/s² * t²
- 2) dy = 12.60m - 4.91m/s² * t²
Sustituyo ecuación 1) en ecuación 2):
- dy = 12.60m - ( 4.91m/s² * ( 10.21m / √ (19.62m/s² * dy) )² )
- dy = 12.60m - ( 4.91m/s² * (104.24m² / 19.62m/s² * dy) )
- dy = 12.60m - ( 511.82m³/s² / (19.62m/s² * dy) )
- dy = 12.60m - 26.09m²/ dy
- dy² = 12.60m * dy - 26.09m²
- dy² - 12.60m * dy + 26.09m² = 0, ==> Resolver Ec. cuadrática:
- dy = 2.61m
(12.60m - 2.60 m) = 0 + 0.5 * 9.81m/s² * t²
t² = 2.04s²
t = 1.43s