En la figura 10 se muestra un recipiente (cilindro recto) que está lleno de agua hasta una altura 12,6 metros. A una profundidad 2,60 metros bajo la superficie del agua se taladra un orificio. Determinar:

A. La velocidad con que sale el agua del orificio
B. El alcance x del chorro medido desde la base del cilindro.
C. A qué profundidad h se debe realizar un orificio para que el alcance x sea máximo.
D. A qué profundidad debe abrirse otro orificio para que el alcance sea el mismo que el inciso b)

Adjuntos:

Respuestas

Respuesta dada por: mcamachog

La velocidad con que sale el agua del orificio es V = 7.14 m/s

El alcance x del chorro medido desde la base del cilindro es dx = 10.21 m

La qué profundidad h se debe realizar un orificio para que el alcance x sea máximo dy1 = 6.30m

La qué profundidad debe abrirse otro orificio para que el alcance sea el mismo que el inciso b) es dy = 2.61m

La velocidad de salida se obtiene de la siguiente ecuación derivada de teorema de Torriceili:

V = √ (2 * g * h)
V = √ (2 * 9.81m/s² * 2.60m)
V = 7.14 m/s

Tratamos al chorro como una partícula cayendo en un movimiento parabólico, descomponemos en eje "X" y "Y" su movimiento.

En el eje horizontal "X", es un MRU:

V = d / t
dx = V * t
1) dx = 7.14 m/s * t

En la componente vertical "Y", es un MRUV aplicamos la siguiente ecuación para hallar el tiempo que tarda el chorro en llegar al suelo (tv):

dy = Voy*t + (1/2) * g * t²
(12.60m - 2.60 m) = 0 + 0.5 * 9.81m/s² * t²
t² = 2.04s²
t = 1.43s

Sustituimos el valor obtenido del tiempo de vuelo en la ecuación 1):

dx = 7.14 m/s * t
dx = 7.14 m/s * 1.43s
dx = 10.21 m

Para que el alcance sea máximo se debe cumplir que dx = H = 12.6m, entonces usamos las mismas ecuaciones pero usamos dx = 12.6m

V = d / t
t = dx / V
t = 12.6m / V
t = 12.6m / √ (2 * g * h)
t = 12.6m / √ (2 * 9.81m/s² * dy)
1) t = 12.60m / √ (19.62m/s² * dy)

d = Voy*t + (1/2) * g * t²
12.60m-dy = 0 + 0.5 * 9.81m/s² * t²
12.60m - dy = 4.91m/s² * t²
2) dy = 12.60m - 4.91m/s² * t²

Sustituyo ecuación 1) en ecuación 2):

dy = 12.60m - ( 4.91m/s² * ( 12.60m / √ (19.62m/s² * dy) )² )
dy = 12.60m - ( 4.91m/s² * (158.76m² / 19.62m/s² * dy) )
dy = 12.60m - ( 779.51m³/s² / (19.62m/s² * dy) )
dy = 12.60m - 39.69m²/ dy
dy² = 12.60m * dy - 39.69m²
dy² - 12.60m * dy + 39.69m² = 0, ==> Resolver Ec. cuadrática:
dy1 = 6.30m

Para que el alcance sea el mismo que en el inciso anterior, usamos las mismas ecuaciones pero usamos dx = 10.21m:

V = d / t
t = dx / V
t = 10.21m / V
t = 10.21m / √ (2 * g * h)
t = 10.21m / √ (2 * 9.81m/s² * dy)
1) t = 10.21m / √ (19.62m/s² * dy)

d = Vo*t + (1/2) * g * t²
12.60m-dy = 0 + 0.5 * 9.81m/s² * t²
12.60m - dy = 4.91m/s² * t²
2) dy = 12.60m - 4.91m/s² * t²

Sustituyo ecuación 1) en ecuación 2):

dy = 12.60m - ( 4.91m/s² * ( 10.21m / √ (19.62m/s² * dy) )² )
dy = 12.60m - ( 4.91m/s² * (104.24m² / 19.62m/s² * dy) )
dy = 12.60m - ( 511.82m³/s² / (19.62m/s² * dy) )
dy = 12.60m - 26.09m²/ dy
dy² = 12.60m * dy - 26.09m²
dy² - 12.60m * dy + 26.09m² = 0, ==> Resolver Ec. cuadrática:
dy = 2.61m

teamomaestro: Buenas noches quisiera preguntarle como realiza el proceso de la componente vertical, no me explico de donde sale el valor de t2: dy = Voy*t + (1/2) * g * t²
(12.60m - 2.60 m) = 0 + 0.5 * 9.81m/s² * t²
t² = 2.04s²
t = 1.43s

mcamachog: El movimiento que realiza el chorro es semiparabolico, se aprecia claramente pues el chorro dibuja la trayectoria. Entonces, este es un movimiento en dos dimensiones, pero es fácil de estudiar separando el movimiento en sus dos componentes perpendiculares: "X" y "Y". Recuerde que tanto el desplazamiento, velocidad y aceleración son magnitudes vectoriales.

mcamachog: La componente vertical del movimiento del chorro se comporta como un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV), o sea que se pueden usar las misma ecuaciones que se usan, por ejemplo, con un carro de carreras que acelera uniformemente (a=cte) en una recta desde la partida a la llegada. Una de estas ecuaciones es la que usamos: dy = Voy*t + (1/2) * g * t², Donde dy: distancia vertical que recorre el chorro desde que sale del tanque hasta que llega al piso (dy= 12.6-2.6);

mcamachog: Voy: es la velocidad inicial pero en el eje vertical, como el chorro sale completamente horizontal, Voy=0; t: es el tiempo que tarda desde que sale del tanque hasta que llega al piso y por supuesto g: es el valor de la aceleración de la gravedad terrestre en la superficie de la tierra.

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