Tres números forman una sucesión aritmética con diferencia 2. Si el segundo número se incrementa en 1 y el tercero en 5, los números resultantes forman una sucesión geométrica. Determina los números que forman la sucesión aritmética.
Respuestas
Los números que forman la sucesión aritmética son 3, 5 y 7
Una progresión aritmética es una sucesión en la que si restamos dos términos consecutivos de la misma esta diferencia es constante, es decir cada termino se obtiene sumando el anterior por una constante llamada diferencia denotada con la letra "d".
El nesimo termino de una progresión aritmética que comienza en a1 se obtiene con la ecuación:
an = a1 + d*(n-1)
Una progresión geométrica es una sucesión que comienza por un número y el siguiente número se obtiene multiplicando al anterior por una constante, llamada razón denotada con la letra "r"
El nesimo termino de una progresión geométrica es:
an = a1*rⁿ⁻¹
Tres números forman una sucesión aritmética con diferencia 2: Sea a1, el primero de los dos números: los otros son a1 + 2 y a1 + 4
Si el segundo número se incrementa en 1 y el tercero en 5, los números resultantes forman una sucesión geométrica, tenemos que la progresión geometrica es:
a1
a1 + 3
a1 + 9
Entonces sea "r" la razón
a1 + 3 = r*a1
a1 + 9 = r²*a1 = r*(a1 + 3)
Dividiendo la segunda entre la primera
(a1 + 9)/(a1 +3) = (a1 + 3)/a1
Despejando:
(a1 + 9)*a1 = (a1 + 3)² = a1² + 6*a1 + 9
a1² + 9*a1 = a1² + 6*a1 + 9
9*a1 - 6*a1 = 9
3*a1 = 9
a1 = 9/3 = 3
Por lo tanto los números son: 3, 3+2 = 5 y 2 +4 = 7