Question

El profesor de estadística ha proporcionado una lista de 40 ejercicios para resolver, en equipos, de los
cuales se deben seleccionar 10, en cuántas maneras se pueden seleccionar, si:
a) No existe condición alguna.
b) Si hay 5 ejercicios que los integrantes del equipo no tienen idea de cómo resolver.
c) Si hay 2 ejercicios que obligatoriamente se deben escoger.

Answer 1

Tarea:

El profesor de estadística ha proporcionado una lista de 40 ejercicios para resolver, en equipos, de los cuales se deben seleccionar 10,

¿De cuántas maneras se pueden seleccionar, si... ?

• a) No existe condición alguna.
• b) Si hay 5 ejercicios que los integrantes del equipo no tienen idea de cómo resolver.
• c) Si hay 2 ejercicios que obligatoriamente se deben escoger.

Explicación paso a paso:

Ejercicio de combinatoria.

En los tres casos propuestos vamos a usar el modelo combinatorio llamado COMBINACIONES de "m" ELEMENTOS TOMADOS DE "n" en "n".

Este modelo se caracteriza porque no se distingue el orden en que se colocan los elementos que escogemos en cada manera. Es decir que si, por ejemplo, tomamos los ejercicios con el número 1, 2, 3... hasta el 10, será la misma elección o manera que si tomamos los elementos 10, 9, 8... hasta el 1, ok? ya que habremos escogido los mismos elementos  pero los habremos enumerado en orden distinto.

Aclarado ese punto, vamos con las opciones:

a) No existe condición alguna.

En este caso tomamos los 40 ejercicios (m) y los combinamos de 10 en 10 (n) de forma que tenemos:

COMBINACIONES de 40 ELEMENTOS TOMADOS DE 10 EN 10

Se recurre a la fórmula por factoriales que dice:

$C_m^n=\dfrac{m!}{n!*(m-n)!} \ \ sustituyendo\ datos...\\ \\ \\ C_{40}^{10}=\dfrac{40!}{10!*(40-10)!}=\dfrac{40*39*38*37*36*35*34*33*32*31*30!}{10*9*8*7*6*5*4*3*2*1*30!}=\\ \\ \\ =\dfrac{3075990524006400}{3628800} =847.660.528\ maneras$

b) Hay 5 ejercicios de los que no tienen idea

En este caso esos 5 ejercicios hay que descontarlos de los 40 porque es obvio que no los van a elegir, así que tendremos:

COMBINACIONES de 35 ELEMENTOS TOMADOS DE 10 EN 10

La fórmula a utilizar es la misma que antes y la operativa la tienes en el primer ejercicio así que sólo sustituye datos y resuelve.

c) Hay 2 ejercicios que obligatoriamente deben escoger

Pues en este caso hay que pensar que esos ejercicios SIEMPRE van a estar presentes en cualquier elección que hagan y por tanto solo podrán elegir entre los 38 ejercicios restantes (40-2 = 38) y combinarlos de 8 en 8 (10-2=8) así que tendremos esto:

COMBINACIONES de 38 ELEMENTOS TOMADOS DE 8 EN 8

Y la operativa y resolución es idéntica al primero así que no veo necesario tener que volver a hacer las mismas operaciones.

Saludos.