Question

Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (7,-2,9) y es perpendicular a cada una de las rectas (x-2)/2=y/(-2)=(z+3)/3 y x+4=(y-2)/5=z/(-2)

Answer 1

La recta que pasa por el punto (7,-2,9) y es perpendicular a la vez a las dos rectas dadas es $\frac{x-7}{-11}=\frac{y+2}{-7}=\frac{z-9}{13}$

Desarrollo:

Si la recta es perpendicular a las siguientes rectas a la vez:

$\frac{x-2}{2}=\frac{y}{-2}=\frac{z+3}{3}\\\\\frac{x+4}{1}=\frac{y-2}{5}=\frac{z}{-2}$

significa que el vector director de ella es perpendicular a ambos vectores directores de estas rectas. En la ecuación continua los vectores directores se forman con los denominadores de los miembros, entonces el vector director buscado lo da el producto vectorial entre ellos:

$(2,-2,3)x(1,5,-2)=det\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\2&-2&3\\1&5&-2\end{array}\right] =((-2)(-2)-5.3)i-(2(-2)-3.1)j+(2.5-1(-2))k=(-11,-7,13)$

Ese es el vector director de la recta buscada, ahora tenemos que tiene que pasar por el punto (7,-2,9), dicho esto puede que la recta sea alabeada respecto de las dos rectas dadas (se dice que dos rectas son alabeadas cuando sin ser paralelas no se intersecan), con lo que solo será perpendicular a ellas en términos de la dirección. La ecuación continua es:

$\frac{x-x_0}{x_v}=\frac{y-y_0}{y_v}=\frac{z-z_0}{z_v}$

Donde los términos con el subíndice 0 son las coordenadas de un punto por el que la recta pasa y los términos con el subíndice v son las coordenadas del vector director.

Queda;

$\frac{x-7}{-11}=\frac{y+2}{-7}=\frac{z-9}{13}$