Question

Encuentre la ecuación del plano que pasa por los puntos P=(1,4,2), Q=(2,3,3) y R=(9,2,-3). Desarrolle claramente el paso a paso necesario para llegar a dicha ecuación y grafique el plano correspondiente.

Answer 1

La ecuación del plano que contiene a los puntos P, Q y R es:  

π: 7x + 13y + 6z - 71 = 0  

En la imagen se puede ver la gráfica del plano.  

Explicación:  

Dados,  

P(1,4,2)  

Q(2,3,3)  

R(9,2,-3)  

Iniciamos hallando la normal del plano;  

Es el producto vectorial de dos vectores que se encuentran en el plano;  

n = PQ × PR  

Siendo;  

PQ = (2-1, 3-4, 3-2)  

PQ = (1, -1, 1)  

PR = (9-1, 2-4, -3-2)  

PR = (8, -2, -5)  

Sustituir;  

$= \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&-1&1\\8&-2&-5\end{array}\right]$  

= i [(-1)(-5)-(-2)(1)] -j [(1)(-5)-(8)(1)]+ k [(1)(-2)-(8)(-1)]  

= 7 i + 13 j + 6 k  

n = (7, 13, 6)  

Se tiene un punto A(x, y, z) perteneciente al plano;  

El vector PA;  

PA = (x-1, y-4, z-2)  

Siendo este vector ⊥ al plano;  

Si dos vectores son perpendiculares entonces su producto punto es igual a cero;  

PA • n = 0  

Sustituir;  

(x-1, y-4, z-2)•(7, 13, 6) = 0  

7(x-1) + (y-4)13 + (z-2)6 = 0  

7x - 7 + 13y - 52 + 6z -12 =0  

Agrupar términos semejantes;  

π: 7x + 13y + 6z - 71 = 0