Question

hallar la ecuacion de la elipse con. Foco en (5,0) y el eje mayor es el doble del eje menor. por favorr​

Answer 1

En toda elipse, la ecuación canónica es:

$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$

Donde (x0,y0) son las coordenadas del centro del mismo y a y b son los dos semiejes, si tenemos que el semieje menor tiene que ser la mitad del mayor queda:

$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{(\frac{a}{2})^2}=1$

Otro parámetro de la elipse es la excentricidad, definida como la relación entre la semidistancia focal c (es decir la distancia entre un foco y el centro) y el semieje mayor a:

$\epsilon=\frac{c}{a}$

Pero como:

$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2}=\sqrt{\frac{3}{4}a^2}$

Nos queda;

$\epsilon=\frac{\sqrt{\frac{3}{4}a^2}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Nos queda que la elipse que cumpla con la condición planteada puede tener cualquier valor del semieje mayor a mientras tenga uno de sus focos en (5,0) y el centro esté a $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ de este punto. Con lo que infinitas elipses son las que cumplen la condición del problema.

Vamos a adoptar a=2 y que la elipse es horizontal (o sea y0=0), nos queda;

$\frac{(x-x_0)^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$

Con estas condiciones que agregamos, el centro tiene que estar a $\frac{\sqrt{3}}{2}.2=\sqrt{3}$ del punto (5,0), con lo cual ahora hay dos elipses que satisfacen el problema. La coordenada x del centro puede ser:

$x_0 = 5+\sqrt{3}~V~x_0=5-0\sqrt{3}$

Tomemos la primera, nos queda:

$\frac{(x-5-\sqrt{3})^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$

Siendo esta una de las infinitas elipses que cumple las condiciones originales del problema, se adjunta su gráfica.