Question

Se tiene un reloj de agujas ¿a qué hora entre las tres y las cuatro, el horario y el minutero forman un ángulo recto?

Answer 1

La aguja horaria y el minutero forman un ángulo recto a las 3:32:44 horas.

Explicación:

Se tiene que en el intervalo de una hora, el desplazamiento angular de la aguja horaria es de una doceava parte de la circunferencia:

$\theta_h=\frac{1}{12}2\pi=\frac{\pi}{6}$

En cada minuto ese desplazamiento angular se divide por sesenta:

$\theta_{h(m)}=\frac{\pi}{6}\frac{1}{60}=\frac{\pi}{360}$

Mientras que en el transcurso de esa hora el minutero da la vuelta completa pero en cada minuto el desplazamiento angular es el siguiente:

$\theta_m=2\pi\frac{1}{60}=\frac{\pi}{30}$

Ahora bien, podemos suponer que la aguja minutera parte de un ángulo de 90° mientras que la aguja horaria parte de 0°, nos queda:

$\theta_m=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{30}m\\\theta_h=-\frac{\pi}{360}m\\\\\theta_h-\theta_m=\frac{\pi}{2}\\\\-\frac{\pi}{360}m-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{30}m=\frac{\pi}{2}$

Despejando m queda:

$-\frac{\pi}{360}m+\frac{\pi}{30}m=\pi\\\\m(\frac{1}{30}-\frac{1}{360})=1\\\\m(\frac{12}{360}-\frac{1}{360})=1\\\\m=\frac{360}{11}=32,72min=32min~44s.$

Para pasarlo a medidas sexagesimales, al valor obtenido se le restan los minutos y se multiplica por 60, quedando 0,72min=44s.