Question

Si L es la recta con ecuación 5x-y=1, encontrar las ecuaciones de las rectas perpendiculares a L que forman con los ejes coordenados un triángulo de área igual a 5 unidades cuadradas.

Nota: urgentemente... Gracias.

Answer 1

Las rectas que cumplen las condiciones son dos:

$\frac{x-\sqrt{50}}{5}=\frac{y}{-1}\\\\\frac{x+\sqrt{50}}{5}=\frac{y}{-1}$

Y forman sendos triángulos rectángulos con los ejes coordenados de base $\sqrt{50}$ y altura $\sqrt{2}$ en el primero y tercer cuadrante.

Desarrollo:

La recta L se puede escribir en la forma de sus ecuaciones continuas a fin de encontrar su vector director.

$5x-y=1\\5x=y+1\\\\x=\frac{y+1}{5}$

Ya sabemos que el vector director es (1,5), para hallar un vector perpendicular recurrimos al producto escalar, el producto escalar entre dos vectores perpendiculares es cero:

$(x_v,y_v).(1,5)=0\\x_v+5y_v=0$

De donde podemos deducir que (-5,1) es un vector perpendicular a (1,5), por ende las rectas buscadas tendrán (-5,1) como vector director. Como el vector está en el segundo cuadrante, los triángulos que las rectas formarán con los ejes coordenados van a estar en el primer y tercer cuadrante. Estos serán triángulos rectángulos y las rectas entonces tendrán que pasar por los puntos $(x_p,0), (0,y_p)$ tales que:

$\frac{x_py_p}{2}=5\\\\x_py_p=10$

Para esto podemos valernos de las ecuaciones paramétricas de las rectas donde:

$x=x_0+5t\\y=y_0-t$

Si tomamos como un punto de la recta uno de los puntos de cruce y tratamos de hallar el otro:

$0=x_p+5t\\y_p=-t\\\\x_py_p=10=>\frac{10}{x_p}=-t\\\\0=x_p-\frac{10}{x_p}.5=\frac{x_p^2-50}{x_p}\\\\x_p=\ñ\sqrt{50}$

Con lo que las rectas a encontrar son dos:

$(x,y)=(\sqrt{50},0)+\lambda(5,-1)\\(x,y)=(-\sqrt{50},0)+\lambda(5,-1)$

O en la forma de ecuacion continua:

$\frac{x-\sqrt{50}}{5}=\frac{y}{-1}\\\\\frac{x+\sqrt{50}}{5}=\frac{y}{-1}$

En la imagen adjunta se muestra en azul la recta provista, en amarillo las dos rectas obtenidas, y en verde los triángulos que quedaron de base $\sqrt{50}$ y altura $\sqrt{2}$.