Question

Cuántos términos debe tener una P.A. cuya razón es 2. Sabiendo que el noveno término es 21 y la suma de todos ellos es 437

Answer 1

Para que la suma de la progresión aritmética de razón 2 y noveno término igual a 21, sea 437, tiene que tener 19 términos.

Explicación paso a paso:

En una progresión aritmética, cada término n sigue la expresión:

$a_n=a_0+nr$

Donde r es la razón de la progresión, la suma de la progresión de 0 a n se puede definir como:

$\Sigma_{i=0}^{n}a_i=\Sigma_{i=0}^{n}(a_0+ir)$

Distribuyendo la sumatoria se puede escribir como:

$\Sigma_{i=0}^{n}a_i=n.a_0+r\Sigma_{i=0}^{n}i$

El número triangular (o sumatoria de todos los números naturales de 0 a n) es:

$\Sigma_{i=0}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$

Y la expresión anterior queda:

$\Sigma_{i=0}^{n}a_i=n.a_0+r\frac{n(n+1)}{2}$

Tenemos que el término de n=9 es 21, reemplazamos en la primera ecuación y queda:

$a_n=a_0+nr\\\\a_0+9.2=21\\a_0=3$

Y para que la suma sea 437 el número de términos lo despejamos de la ecuación de la suma:

$n.3+2\frac{n(n+1)}{2}=437\\\\3n+n^2+n=437\\n^2+4n-437=0$

Resolvemos la ecuación cuadrática:

$n=\frac{-4\ñ\sqrt{4^2+4.1(-437)}}{2.1}=\frac{-4\ñ42}{2}\\\\n=-23\\n=19$

La solución negativa no tiene sentido por lo que nos quedamos con la solución positiva. La progresión tiene 19 términos.