Question

A las nueve de la mañana un pastel a 70o F es sacado del horno y llevado a una habitación donde la temperatura es de 15o F. Cinco minutos después la temperatura del pastel es de 45o F. A la 9:10 am se regresa al interior del horno, donde la temperatura es fija e igual a 70o F. ¿Cuál es la temperatura del pastel a las 9:20 am?

Answer 1

Para el pastel se tiene que la temperatura a las 9:20am sera de T(10) = 58.5°F

Explicación paso a paso:

Primero es de enfriamiento luego de calentamiento

De acuerdo con la ley de enfriamiento de Newton

dT/dt = β (T - Ta)

Ta = 15°F

• Sustituimos y separamos variables

dT = β (T - 15)dt    

1/(T - 15) dT = βdt             .:. Integramos Temp (45 - 70) tiempo (0 - 5)

∫₇₀⁴⁵1/(T - 15) dT = ∫₀⁵βdt  

-ln| T-15| |₇₀⁴⁵ = βt |₀⁵

ln(6/11) = 5β    ⇒    β = 1/5 ln(6/11)   Con este valor integramos indefinidamente

∫1/(T - 15) dT = ∫1/5 ln(6/11) dt

ln |T - 15| = t/5 ln(6/11) + C     .:.

• Para t(0) = 70

C = ln (55)    .:. sustituimos en ecuacion anterior

ln |T - 15| = t/4 ln(6/11) + ln (55)  Despejamos T

T(t) = 15 +55 (6/11)^t/5

Entonces la temperatura a las 9:10 am sera

T(10) = 15 +55 (6/11)¹⁰/⁵ = 15 +55(36/121)

T(10) = 31.36°F

Luego es llevado nuevamente al horno

Ta = 70°F

∫1/(T - 70) dT = ∫[1/5 ln(6/11)]dt

ln |70 - T| = t/5 ln(6/11) + K

• Para T(0) = 31.36°F

K = ln (38.64)

ln |70 - T| = t/5 ln(6/11) + ln (38.64)

T(t) = 70 - 38.64(6/11)^t/5

Entonces la temperatura a las 9:20 am sera

T(10) = 15 - 38.64 (6/11)¹⁰/⁵ = 15 -38.64(36/121)

T(10) = 58.5°F