20. Cuál será el centro y radio de una circunferencia que pasa por los puntos (4,8), (9,3) y (7,-1).

Respuestas

Respuesta dada por: angiemontenegr
1

Respuesta:

El centro de la circunferencia es (4 , 3) y el radio es 5

Explicación paso a paso:

Datos.

Puntos por donde pasa la circunferencia.

(4 , 8)

(9 , 3)

(7 , - 1)

Ecuación general de la circunferencia.

x² + y² + Ax + Bx + C = 0

Los puntos dados satisfacen la ecuación de la circunferencia

(4 , 8)

(x , y)

4² + 8² + 4A + 8B + C = 0

16 + 64 + 4A + 8B +  C = 0

80 + 4A + 8B + C = 0

4A + 8B + C + 80 = 0    (1)

(9 , 3)

9² + 3² + 9A + 3B + C = 0

81 + 9 + 9A + 3B + C = 0

90 + 9A + 3B + C = 0

9A + 3B + C + 90 = 0  (2)

(7 , - 1)

(7)² + ( - 1)² + 7A - B + C = 0

49 + 1 + 7A - B + C = 0

7A - B + C + 50 = 0     (3)

Tenemos un sistema de ecuaciones 3 x 3

4A + 8B + C + 80 = 0   (1)

9A + 3B + C + 90 = 0   (2)

7A - B + C + 50 = 0       (3)

Por método de reducción.

Multiplicamos (1) por ( - 1)

(4A + 8B + C + 80 = 0)(- 1)

- 4A -  8B - C - 80 = 0   Le sumamos 2

 9A + 3B + C + 90 = 0

----------------------------------

 5A  - 5B + 10 = 0  (4)

Multiplicamos (1) Por ( - 1)

(4A + 8B + C + 80 = 0)(- 1)

- 4B - 8B - C  - 80 = 0         Le sumamos (3)

 7A -   B + C + 50 = 0

--------------------------------

 3A - 9B - 30 = 0   (5)

Ahora nos queda un sistema de ecuaciones 2 x 2

5A  - 5B + 10 = 0  (4)

3A - 9B  - 30 = 0  (5)

Multiplicamos (4) por - 3

(5A - 5B + 10 = 0)( - 3)

- 15A + 15B - 30 = 0  (6)

Multiplicamos (5) por 5

(3A - 9B  - 30 = 0 ) (5)

15A - 45B - 150 = 0  (7)

Sumamos (6) y (7)

- 15A + 15B - 30 = 0  

 15A - 45B - 150 = 0

--------------------------------

        - 30B - 180 = 0

        - 30B = 180

               B = 180/- 30

               B = - 6                     Reemplazamos este valor en (4)

5A  - 5B + 10 = 0  (4)

5A - 5( - 6) + 10 = 0

5A + 30 + 10 = 0

5A + 40 = 0

5A = - 40

A = - 40/5

A = - 8

Hallamos el valor de C en la ecuación (1)

4A + 8B + C + 80 = 0

4(- 8) + 8( - 6) + C + 80 = 0

- 32 - 48 + C + 80 = 0

- 80 + C + 80 = 0

C  = 0

Tenemos la ecuación:

x² + y² + Ax + Bx + C = 0   Reemplazamos los valores de A , B

                                           y C

x² + y² + ( - 8)x + ( - 6)y = 0

x² + y² - 8x - 6y  = 0

Llevamos la ecuación a la forma.

(x - h)² + (y - k)² = R²

Centro (h , k)

Radio = R

x² - 8x        + y² - 6y = 4  Completamos trinomio al cuadrado perfecto

[(x² - 8x + (4)²] + [y² - 6x + (3)²] = 4² + 3²

(x - 4)² + (y - 3)² = 16 + 9

(x - 4)² + (y - 3)² = 25

Centro de la circunferencia (h , k) = (4 , 3)

R² = 25

R =√25

R = 5

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