Question

11.Considere el rectángulo azul circunscrito alrededor del rectángulo rojo en la figuea. Con la ayuda de cálculo, se puede demostrar que el área del rectángulo azul es más grande cuando el ángulo teta es igual a 45°. Calcule esta área en términos de a y b

Answer 1

El área del rectángulo azul en términos de los lados a y b del rectángulo rojo es $\frac{(a+b)^2}{2}$

Desarrollo paso a paso:

Vamos a suponer que el ángulo que el rectángulo azul forma con el rectángulo rojo es de 45°, en este caso c y d (ver imagen 2) forman un triángulo rectángulo isósceles (porque su otro ángulo agudo interno también es de 45° al ser ambos complementarios). Tenemos:

$c=d=>a=\sqrt{c^2+d^2}=\sqrt{2c^2}=c\sqrt{2}$

Podemos demostrar que e, f y b también forman un triángulo rectángulo isósceles (porque el ángulo que forman los lados rojos es 90° entonces, los lados rojos con los lados azules tienen que formar sendos ángulos de 45°), por lo que también es:

$b=e\sqrt{2}=f\sqrt{2}$

Como los lados de los dos rectángulos son paralelos, los ángulos agudos del triángulo superior son también de 45° ya que son alternos internos con los del triángulo rectángulo inferior. Lo mismo pasa con el triángulo rectángulo de la izquierda. Por lo que podemos decir que en el rectángulo azul los lados son:

$l_1=c+f=\frac{a}{\sqrt{2}}+\frac{b}{\sqrt{2}}=\frac{a+b}{\sqrt{2}}\\\\l_2=d+e=\frac{a}{\sqrt{2}}+\frac{b}{\sqrt{2}}=\frac{a+b}{\sqrt{2}}$

Nos encontramos con que el rectángulo azul es en realidad un cuadrado, el área de este cuadrado es:

$A=l_1.l_2=(\frac{a+b}{\sqrt{2}})^2=\frac{(a+b)^2}{2}$