Question

resuelve el sistema
SEC (A-B)=COS 70°
SEC (C-B)=CSC 50°
TG (A+C).CTG 80°=1

CALCULAR A+B+C
ayuda PORFAVOR

Answer 1

El sistema tiene como solución A=30°, B=10° y C=50° y la suma A+B+C es 90°.

Desarrollo paso a paso:

Para resolver el sistema hay que tener en cuenta las identidades trigonométricas y las funciones trigonométricas recíprocas. Empezamos por la tercera ecuación:

$tg(A+C).cotg(80\°)=1\\\\tg(A+C).\frac{1}{tg(80\°)}=1$

De donde queda:

$A+C=80\°$

Tenemos otra igualdad que es:

$sec(C-B)=csc(50\°)\\\\\frac{1}{cos(C-B)}=\frac{1}{sen(50\°)}$

Desarrollando tenemos:

$cos(C-B)=sen(50\°)$

Ahora una propiedad de los ángulos en el primer cuadrante es:

$sen(\alpha)=cos(90\°-\alpha)\\cos(\alpha)=sen(90\°-\alpha)$

Por lo que podemos escribir la ecuación como:

$sen(90\°-(C-B))=sen(50\°)\\90\°-(C-B)=50\°\\\\C-B=40\°$

En cuanto a la primera ecuación, el coseno de 70° es menor que 1 y la función secante es siempre mayor que 1 por lo que no se podría resolver la ecuación, tal vez en realidad sea:

$sec(A-B)=csc(70\°)$

Esta se podría escribir como:

$\frac{1}{cos(A-B)}=\frac{1}{sen(70\°)}\\sen(70\°)=cos(A-B)\\sen(70\°)=sen(90\°-(A-B))\\\\70\°=90\°-(A-B)\\A-B=20\°$

Ahora resumiendo el sistema de ecuaciones queda:

$A-B=20\°\\C-B=40\°\\A+C=80\°$

Podemos restar la primera ecuación a la segunda y a eso sumarle la tercera y queda:

$A-B-C+B+A+C=20-40+80\\\\2A=60\°\\A=30\°$

Y si sumamos las dos primeras ecuaciones y le restamos la tercera queda:

$A-B+C-B-A-C=20+40-80\\\\-2B=-20\°\\B=10\°$

Ahora sumamos la segunda y tercera ecuación y le restamos la primera:

$C-B+A+C-A+B=40+80-20\\2C=100\°\\\\C=50\°$

Ahora resumiendo quedó $A=30\°; B=10\°; C=50\°$, vamos a hallar A+B+C:

$A+B+C=30\°+10\°+50\°=90\°$