Question

una empresa desea construir una caja con la parte superior abierta a partir de un trozo cuadrado de cierto material que tiene 4 metros de ancho, al recortar un cuadrado de cada una de las cuatro esquinas y doblar los lados hacia arriba.
Encuentre el volumen mas grande que puede tener una caja de las caracteristicas anteriores

Answer 1

El volumen máximo se da para h=0,67 metros y este es 4,74 metros cúbicos.

Desarrollo:

Como el trozo de material inicial es cuadrado y la altura debe ser la misma en todos los lados, se recortan sendos cuadrados en cada una de las cuatro esquinas, con lo que la base de la caja será cuadrada, la función volumen queda:

$V=l^2h\\\\l=4-2h$

Esto debido a que se recortan cuadrados de lado igual a h, que definen las líneas de los dobleces. Reemplazando queda:

$V(h)=(4-2h)^2h\\\\V(h)=(16-16h+4h^2)h\\V(h)=16h-16h^2+4h^3$

Ahora hay que hallar el valor de h que maximiza el volumen, la condición de máximo es:

$V'(h_{max})=0\\V''(h_{max})<0$

Tenemos que hallar la derivada primera y segunda:

$V'(h)=16-32h+12h^2\\V''(h)=-32+24h$

Igualamos la derivada primera a cero y resolvemos la ecuación cuadrática:

$16-32h+12h^2=0\\\\h_{1,2}=\frac{32\ñ\sqrt{32^2-4.12.16}}{2.12}=\frac{32\ñ16}{24}\\\\h_1=2\\h_2=\frac{2}{3}$

Ahora la derivada segunda en h=2 y h=2/3 nos da:

$V''(2)=-32+24.2=16\\V''(\frac{2}{3})=-32+\frac{2}{3}.24=-16$

El volumen es máximo para h=2/3, este volumen es:

$V(\frac{2}{3})=16\frac{2}{3}-16(\frac{2}{3})^2+4(\frac{2}{3})^3=\frac{32}{3}-\frac{64}{9}+\frac{32}{27}=\frac{128}{27}=4,74m^3$