• Asignatura: Matemáticas
  • Autor: marlennonmccartney
  • hace 8 años

¿MEJOR RESPUESTA SI ME AYUDAN A RESOLVER ESTO PASO A PASO?

Adjuntos:

Respuestas

Respuesta dada por: kenowashi
4

Respuesta:

Explicación paso a paso:

\int\limits^4_1 {xe^{x}+sen^{2}x-\frac{3x+1}{(x+2)^{2}}+\frac{x}{\sqrt{25-x^{2}}}} \, dx

\int\limits^4_1 {xe^{x}} \, dx + \int\limits^4_1{sen^{2}x} \, dx - \int\limits^4_1{\frac{3x+1}{(x+2)^{2}}} \, dx + \int\limits^4_1{\frac{x}{\sqrt{25-x^{2}}}} \, dx

Una vez hecho esto, se puede resolver individualmente cada integral, así que comenzamos con la primera:

\int\limits^4_1 {xe^{x}} \, dx

Usas integración por partes:

u=x,\ dv=e^{x}dx

du=dx,\ v=e^{x}

\int\limits^4_1 {xe^{x}} \, dx=xe^{x}|\limits^4_1-\int\limits^4_1 {e^{x}} \, dx

(4e^{4}-e^{1})-e^{x}|\limits^4_1

4e^{4}-e^{1}-(e^{4}-e^{1})

4e^{4}-e^{1}-e^{4}+e^{1}

3e^{4}

entonces \int\limits^4_1 {xe^{x}} \, dx=3e^{4}

Vamos a la segunda:

\int\limits^4_1{sen^{2}x} \, dx

El sen^{2}x se puede reemplazar por \frac{1-cos(2x)}{2}

\int\limits^4_1{sen^{2}x} \, dx=\int\limits^4_1{\frac{1-cos(2x)}{2}} \, dx

\int\limits^4_1{\frac{1-cos(2x)}{2}} \, dx=\int\limits^4_1{\frac{1}{2}} \, dx - \int\limits^4_1{\frac{cos(2x)}{2}} \, dx

\frac{1}{2}\int\limits^4_1{1} \, dx - \frac{1}{2}\int\limits^4_1{cos(2x)} \, dx

Si haces u=2x,\ du=2dx para la segunda integral

\frac{1}{2}x|\limits^4_1 - \frac{1}{2}\int\limits^4_1{cos(u)} \, \frac{du}{2}

\frac{1}{2}(4-1) - \frac{1}{4}\int\limits^4_1{cos(u)} \, du

\frac{3}{2} - \frac{1}{4}senu|\limits^4_1

\frac{3}{2}-\frac{sen(4)}{4}+\frac{sen(1)}{4}

entonces \int\limits^4_1 {sen^{2}x} \, dx1.48

La tercera:

\int\limits^4_1{\frac{3x+1}{(x+2)^{2}}} \, dx

Hacemos un reemplazo: u=x+2,\ du=dx

Con ese cambio sabrías que x=u-2

\int\limits^4_1{\frac{3x+1}{(x+2)^{2}}} \, dx=\int\limits^4_1{\frac{3(u-2)+1}{u^{2}}} \, du

\int\limits^4_1{\frac{3u-6+1}{u^{2}}} \, du

\int\limits^4_1{\frac{3u-5}{u^{2}}} \, du

\int\limits^4_1{\frac{3u}{u^{2}}-\frac{5}{u^{2}}} \, du

\int\limits^4_1{\frac{3}{u}} \, du - \int\limits^4_1{5u^{-2}} \, du

3\int\limits^4_1{\frac{1}{u}} \, du - 5\int\limits^4_1{u^{-2}} \, du

La primera se hace con logaritmo natural

3ln(u)|\limits^4_1-5\frac{u^{-1}}{-1}|\limits^4_1

3ln(x+2)|\limits^4_1+5\frac{1}{x+2}|\limits^4_1

3(ln(4+2)-ln(1+2))+5(\frac{1}{4+2}-\frac{1}{1+2})

3(ln(6)-ln(3))+5(\frac{1}{6}-\frac{1}{3})

entonces \int\limits^4_1{\frac{3x+1}{(x+2)^{2}}} \, dx1.246

La cuarta:

\int\limits^4_1{\frac{x}{\sqrt{25-x^{2}}}} \, dx

Hacemos el siguiente reemplazo: u^{2}=25-x^{2},\ 2udu=-2xdx

Eso implica que -udu=xdx

\int\limits^4_1{\frac{x}{\sqrt{25-x^{2}}}} \, dx=\int\limits^4_1{\frac{-u}{\sqrt{u^{2}}}} \, du

-\int\limits^4_1{\frac{u}{u}} \, du

-\int\limits^4_1{1} \, du

-u|\limits^4_1

-\sqrt{25-x^2}|\limits^4_1

-\sqrt{25-4^2}+\sqrt{25-1^2}

entonces \int\limits^4_1{\frac{x}{\sqrt{25-x^{2}}}} \, dx1.9

De manera que la respuesta final es

3e^{4}+1.48-1.246+1.9165.9


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