Question

Log 2(x+3)-3.log2x=10

Answer 1

El valor de x que satisface la ecuación es x=0,145 aproximadamente.

Desarrollo:

Vamos a empezar pasando en limpio la ecuación para aplicar las propiedades del logaritmo:

$log_2(x+3)-3log_2(x)=10$

La primera propiedad a aplicar es la de la potenciación del argumento:

$log_a (x^n)=n.log_a(x)$

Y la aplicamos a la ecuación:

$log_2(x+3))-log_2(x^3)=10$

Luego vamos a aplicar la propiedad resta de logaritmos la cual dice:

$log_a(m)-log_a(n)=log_a(\frac{m}{n})$

Queda:

$log_2(\frac{x+3}{x^3})=10$

Ahora aplicamos el exponencial de base 2 en ambos miembros para empezar a despejar:

$2^{log_2(\frac{x+3}{x^3})}=2^{10}\\\\\frac{x+3}{x^3}=1024\\\\1024x^3-x-3=0$

Aplicamos el método de Newton-Raphsen para hallar las raíces:

$x_{n+1}=x-\frac{f(x)}{f'(x)}\\\\f'(x)=3072x^2-1\\\\x_{n+1}=x-\frac{1024x^3-x-3}{3072x^2-1}=\frac{2048x^3+3}{3072x^2-1}$

En esa ecuación hay que aplicar aproximaciones sucesivas con valores de x hasta obtener la igualdad en ambos miembros, tenemos:

$x=1; x_{n+1}=0,66786\\x=0,66786; x_{n+1}=0,44775\\x=0,66786; x_{n+1}=0,44775\\x=0,44775; x_{n+1}=0,30386\\x=0,30386; x_{n+1}=0,2139\\x=0,2139; x_{n+1}=0,16512$

Si se sigue iterando se tiene que el valor converge en x=0,145.

Si tratamos de hallar los extremos tenemos:

$f'(x)=3072x^2-1=0\\\\x=\ñ\frac{1}{3072}$

Y en los dos extremos la función es negativa con lo que podemos afirmar que la que hallamos es la única raíz del polinomio.