Question

hallar la constante k de tal manera que las rectas 2x-3y+4=0 y-3x+ky-1=0 sea ´perpendiculares

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

Las rectas son:

$2x-3y+4=0\,\,\textbf{y}\,\,y-3x+ky-1=0$

Para saber si son perpendiculares, basta escribir sus respectivas ecuaciones en la forma canónica para obtener sus pendientes y recordando que para ser perpendiculares se debe cumplir que:$m_{1}=-\frac{1}{m_{2}}$ entonces:

$l_{1}:2x-3y+4=0\\\\l_{1}:-3y=-4-2x\\\\l_{1}:y=\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}\\\\m_{1}l_{1}=\frac{2}{3}\\\\l_{2}:y-3x+ky-1=0\\\\l_{2}:y+ky=3x+1\\\\y(1+k)=3x+1\\\\y=\frac{3}{k+1}x+\frac{1}{k+1}\\\\m_{2}l_{2}=\frac{3}{k+1}\\\\m_{1}m_{2}=-1\\\\(\frac{2}{3})(\frac{3}{k+1})=-1\\\\\frac{6}{3(k+1)}=-1\\\\6=-1(3(k+1))\\\\6=-3k-3\\\\-3k=6+3\\\\-3k=9\\\\k=-3$

Por lo tanto k vale:

$k=-3\\\\l_{2}:y=-\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}$

Comprobación:

$m_{1}m_{2}=-1\\\\(\frac{2}{3})(\frac{3}{k+1})=-1\\\\\frac{6}{3(k+1)}=-1\\\\\frac{6}{3(-3+1)}=-1\\\\\frac{6}{3(-2)}=-1\\\\\frac{6}{-6}=-1\\\\-1=-1$

Adjunto un archivo para que visualices mejor la perpendicularidad de las rectas en cuestión.

Saludos