Question

Una empresa que produce pastillas antidepresivas (en cientos) tiene un costo fijo mensual de 360 (en miles de dólares), y un costo variable por unidad producida de 10 (en miles de dólares). Además, se sabe que su ingreso está dado por la siguiente expresión: I (x)= - 5x 2 100x, (en miles de dólares), donde x, es el número de pastillas que produce y vende la empresa mensualmente. Se pide a) El costo variable por unidad y el costo total b) El número de pastillas que debe producir y vender la empresa para obtener la máxima utilidad. c) Determine la máxima utilidad. d) Halle la cantidad de unidades para que la empresa no obtenga utilidades. e) Halle la utilidad o pérdida que obtendrá la empresa si produce y vende estas unidades. f) La gráfica de la función U (x)

Answer 1

Una empresa que produce pastillas antidepresivas. Dados los costos fijos y variables, además de la expresión de ingreso se obtiene:

a) El costo variable por unidad y el costo total .

Ct = 370 mil dólares

b) El número de pastillas que debe producir y vender la empresa para obtener la máxima utilidad.  

x = 10 pastillas (cientos)

c) Determine la máxima utilidad.  

U(max) = 130 mil dólares

d) Halle la cantidad de unidades para que la empresa no obtenga utilidades.  

x₁ = 61 pastillas (cientos)

e) Halle la utilidad o pérdida que obtendrá la empresa si produce y vende estas unidades.  

U(per) = - 12.875 mil dólares

f) La gráfica de la función U(x) se puede ver en la imagen.

Explicación:

Datos;

costos fijos: 360 mil dólares

costos variables: 10 mil dólares  

I(x) = -5x²+100x (miles de dólares)

x: número de pastillas

Ct = cf + cv

Ct = 360 + 10

Ct = 370 mil dólares

U(x) = I(x) - C(x)

Sustituir;

U(x) = -5x²+100x - 370  

Aplicar primer derivada;

U'(x) = d/dx( -5x²+100x - 370)

d/dx( -5x²) = -10x

d/dx(100x) = 100

d/dx(370) = 0

U'(x) = -10x + 100

Igualar a cero;

-10x + 100 = 0  

Despejar x;

x = 100/10

x = 10 pastillas  

Evaluar x = 10 en U(x);

U(max) = -5(10)²+100(10) - 370  

U(max) = 130 mil dólares

Para que U(x) = 0;

U(x) = I(x) - C(x) = 0

I(x) = C(x)

Sustituir;

-5x²+100x - 370 = 0

Aplicar la resolvente:  

$x_{1}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$x_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Sustituir;

$x_{1}=\frac{-100+\sqrt{100^{2}-4(-5)(-370)}}{2(-5)}$

$x_{1}=\frac{-100+\sqrt{2600}}{-10}$

$x_{1}=10+10\sqrt{26}$

x₁ = 61 pastillas

$x_{2}=10-10\sqrt{26}$

x₂ = -41  

Evaluar x = 61 en U(x);

U(per) = -5(61)²+100(61) - 370  

U(per) = - 12.875 mil dólares