Miguel desea calcular la altura de dos edificios que están situado a 100 m en uno del otro. Como tiene acceso al edificio más alto observa que desde la sotea de dicho edificio se avista la sotea del otro bajo un ángulo (alfa)= 73,3(grados), desde la base del mismo edificio se ve la sotea del otro edificio bajo un ángulo de ß(beta)= 19,29(grados).
¿Puede miguel calcular la altura de los edificios con los 3 datos que cuenta? en caso afirmativo ¿Cuál es la altura de cada uno?
Con dibujo, explicación y procedimiento por favor.
Respuestas
Respuesta:
El edificio más alto mide 65 m y el más pequeño 35 m.
Explicación paso a paso:
Siendo,
- D: Distancia
- H1: Altura del edificio 1
- H2: Altura del edificio 2
Datos:
- D= 100m
- α = 73,3°
- β = 19,29°
¿Puede Miguel calcular la altura de los edificios con los 3 datos que cuenta?
Si, él puede.
Razonamiento:
Como nos dice que desde la azotea del edificio más alto avista la azotea del otro BAJO un ángulo de 73,3; colocamos dicho ángulo por debajo de la línea de observación. De este modo tenemos ya un triángulo rectángulo, con base 100m . En otros términos donde nos especificarían que se trata de un ángulo de depresión, el planteamiento sería distinto.
El otro dato hace alusión de un ángulo de elevación, donde desde la base del edificio 1, a lo más alto del edificio 2 se forma un ángulo de 19,29. Del mismo modo obtenemos así un triángulo rectángulo con base de 100m.
Resolución:
De acuerdo al esquema adjunto realizado del ejercicio, según el enunciado, podemos distinguir varios triángulos rectángulos; por lo que evidentemente podemos hacer uso de la razones trigonométricas, tales como seno, cosenos y tangente.
→
→
→
Para el caso del ángulo α = 73,3°, el cateto opuesto a este será el equivalente a la distancia que equidistan ambos edificios; es decir 100 metros, y el cateto adyacente contiene una parte de la altura total de edificio 1; por lo tanto hacemos uso de la razón de la tangente.
Resolvemos la referencia de la azotea a la azotea del otro:
tan(α) = c.o/c.a
*Reemplazamos:
tan(73,3°) = 100m / c.a
*Despejamos "c.a"
c.a= 100m/tan73,3m
c.a = 30,0014.. = 30m
Para el caso de β = 19,29°, también usamos el tangente, solo que el despeje será distinto, dado que ahora necesitamos el cateto opuesto, porque el adyacente ya lo tenemos.
Resolvemos la referencia de la base a la azotea:
tan(β) = c.o/c.a
*Reemplazamos:
tan (19,29°) = c.o / 100m
* Despejamos "c.o"
tan (19,29°) x (100m) = c.o
c.o = 34,99... = 35m
¿Cuál es la altura de cada uno?
Si nos fijamos ya hemos calculado la altura del edificio 2, y una parte de la altura del edificio 1.
Como el edificio 1 es más alto que el 2:
Al sumar la altura total del edificio más pequeño con altura parcial hallada del edificio más alto, obtendremos la altura total de dicho edificio.
Teniendo en cuenta que:
- H2 = cateto opuesto hallado anteriormente (35 m)
- H1 = H2 + el cateto adyacente equivalente a la altura del E.1 de la azotea para arriba.(30m)
Hallando las alturas:
H2= 35m
H1 = H2 + 30m
H1 = 35m + 30m
H1 = 65m
Respuesta:
El edificio más alto mide 65 m y el más pequeño 35 m.
Explicación paso a paso:
Siendo,
D: Distancia
H1: Altura del edificio 1
H2: Altura del edificio 2
Datos:
D= 100m
α = 73,3°
β = 19,29°
¿Puede Miguel calcular la altura de los edificios con los 3 datos que cuenta?
Si, él puede.
Razonamiento:
Como nos dice que desde la azotea del edificio más alto avista la azotea del otro BAJO un ángulo de 73,3; colocamos dicho ángulo por debajo de la línea de observación. De este modo tenemos ya un triángulo rectángulo, con base 100m . En otros términos donde nos especificarían que se trata de un ángulo de depresión, el planteamiento sería distinto.
El otro dato hace alusión de un ángulo de elevación, donde desde la base del edificio 1, a lo más alto del edificio 2 se forma un ángulo de 19,29. Del mismo modo obtenemos así un triángulo rectángulo con base de 100m.
Resolución:
De acuerdo al esquema adjunto realizado del ejercicio, según el enunciado, podemos distinguir varios triángulos rectángulos; por lo que evidentemente podemos hacer uso de la razones trigonométricas, tales como seno, cosenos y tangente.
→ sen(\alpha)= \frac{c.o}{h}sen(α)=
h
c.o
→ cos(\alpha)= \frac{c.a}{h}cos(α)=
h
c.a
→ tan(\alpha)= \frac{c.o}{c.a}tan(α)=
c.a
c.o
Para el caso del ángulo α = 73,3°, el cateto opuesto a este será el equivalente a la distancia que equidistan ambos edificios; es decir 100 metros, y el cateto adyacente contiene una parte de la altura total de edificio 1; por lo tanto hacemos uso de la razón de la tangente.
Resolvemos la referencia de la azotea a la azotea del otro:
tan(α) = c.o/c.a
*Reemplazamos:
tan(73,3°) = 100m / c.a
*Despejamos "c.a"
c.a= 100m/tan73,3m
c.a = 30,0014.. = 30m
Para el caso de β = 19,29°, también usamos el tangente, solo que el despeje será distinto, dado que ahora necesitamos el cateto opuesto, porque el adyacente ya lo tenemos.
Resolvemos la referencia de la base a la azotea:
tan(β) = c.o/c.a
*Reemplazamos:
tan (19,29°) = c.o / 100m
* Despejamos "c.o"
tan (19,29°) x (100m) = c.o
c.o = 34,99... = 35m
¿Cuál es la altura de cada uno?
Si nos fijamos ya hemos calculado la altura del edificio 2, y una parte de la altura del edificio 1.
Como el edificio 1 es más alto que el 2:
Al sumar la altura total del edificio más pequeño con altura parcial hallada del edificio más alto, obtendremos la altura total de dicho edificio.
Teniendo en cuenta que:
H2 = cateto opuesto hallado anteriormente (35 m)
H1 = H2 + el cateto adyacente equivalente a la altura del E.1 de la azotea para arriba.(30m)
Hallando las alturas:
H2= 35m
H1 = H2 + 30m
H1 = 35m + 30m
H1 = 65m