Question

4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación.

1. f(x)=(√x-x)(2x^2-2)
2. f(x)=(√x+1)/(2x^2-4)

3 f(x)=(2x-5)^x.x^3
Paso a paso por favor

Answer 1

Calculando las derivadas de las funciones se obtienen los siguientes resultados:

1. f(x)=(√x-x)(2x^2-2) -> $\frac{d}{dx}\left(\left(\sqrt{x}-x\right)\left(2x^2-2\right)\right)=-6x^2+4x\sqrt{x}+x^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{\sqrt{x}}+2$

2. f(x)=(√x+1)/(2x^2-4) ->$\frac{d}{dx}\left(\frac{\sqrt{x}+1}{2x^2-4}\right)=\frac{-3x^2-4x\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}\left(2x^2-4\right)^2}$

3. f(x)=(2x-5)^x.x^3 -> $=\left(\ln \left(2x-5\right)+\frac{2x}{2x-5}\right)\left(2x-5\right)^xx^3+3x^2\left(2x-5\right)^x$

Resolución por pasos:

1. f(x)=(√x-x)(2x^2-2)

$\frac{d}{dx}\left(\left(\sqrt{x}-x\right)\left(2x^2-2\right)\right)$

Regla del producto: $\left(f\cdot g\right)'=f\:'\cdot g+f\cdot g'$

$f=\sqrt{x}-x,\:g=2x^2-2$

$=\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}-x\right)\left(2x^2-2\right)+\frac{d}{dx}\left(2x^2-2\right)\left(\sqrt{x}-x\right)$

$\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}-x\right)$

Regla de la suma/diferencia: $\left(f\pm g\right)'=f\:'\pm g'$

$=\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}\right)-\frac{d}{dx}\left(x\right)$

Regla de potencia:$\frac{d}{dx}\left(x^a\right)=a\cdot x^{a-1}$

$\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}\right)=\frac{d}{dx}\left(x^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}$

$\frac{d}{dx}\left(x\right)=1$

$=\frac{1}{2\sqrt{x}}-1$

$\frac{d}{dx}\left(2x^2-2\right)=4x$

$=\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}-1\right)\left(2x^2-2\right)+4x\left(\sqrt{x}-x\right)$

$\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}-1\right)\left(2x^2-2\right)+4x\left(\sqrt{x}-x\right)$

$=x^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{\sqrt{x}}-2x^2+2+4x\sqrt{x}-4x^2$

Simplificar

$=-6x^2+4x\sqrt{x}+x^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{\sqrt{x}}+2$

2.

$\frac{d}{dx}\left(\frac{\sqrt{x}+1}{2x^2-4}\right)$

Regla del cociente: $\left(\frac{f}{g}\right)^'=\frac{f\:'\cdot g-g'\cdot f}{g^2}$

$=\frac{\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}+1\right)\left(2x^2-4\right)-\frac{d}{dx}\left(2x^2-4\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(2x^2-4\right)^2}$

$\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}+1\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\frac{d}{dx}\left(2x^2-4\right)=4x$

$=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\left(2x^2-4\right)-4x\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(2x^2-4\right)^2}$

Simplificar

$=\frac{-3x^2-4x\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}\left(2x^2-4\right)^2}$

3.

$\frac{d}{dx}\left(\left(2x-5\right)^xx^3\right)$

Regla del producto: $\left(f\cdot g\right)'=f\:'\cdot g+f\cdot g'$

$f=\left(2x-5\right)^x,\:g=x^3$

$=\frac{d}{dx}\left(\left(2x-5\right)^x\right)x^3+\frac{d}{dx}\left(x^3\right)\left(2x-5\right)^x$

$\frac{d}{dx}\left(\left(2x-5\right)^x\right)$

ley de los exponentes: $a^b=e^{b\ln \left(a\right)}$

$\left(2x-5\right)^x=e^{x\ln \left(2x-5\right)}$

$=\frac{d}{dx}\left(e^{x\ln \left(2x-5\right)}\right)$

Regla de la cadena: $\frac{df\left(u\right)}{dx}=\frac{df}{du}\cdot \frac{du}{dx}$

$f=e^u,\:\:u=x\ln \left(2x-5\right)$

$=\frac{d}{du}\left(e^u\right)\frac{d}{dx}\left(x\ln \left(2x-5\right)\right)$

$\frac{d}{du}\left(e^u\right)=e^u$

$\frac{d}{dx}\left(x\ln \left(2x-5\right)\right)=\ln \left(2x-5\right)+\frac{2x}{2x-5}$

$=e^u\left(\ln \left(2x-5\right)+\frac{2x}{2x-5}\right)$

sustituir en la ecuacion :$u=x\ln \left(2x-5\right)$

$=e^{x\ln \left(2x-5\right)}\left(\ln \left(2x-5\right)+\frac{2x}{2x-5}\right)$

$e^{x\ln \left(2x-5\right)}=\left(2x-5\right)^x$

$=\left(\ln \left(2x-5\right)+\frac{2x}{2x-5}\right)\left(2x-5\right)^x$

$\frac{d}{dx}\left(x^3\right)=3x^2$

Entonces

$=\left(\ln \left(2x-5\right)+\frac{2x}{2x-5}\right)\left(2x-5\right)^xx^3+3x^2\left(2x-5\right)^x$