Question

para la expresión x^2+y^2=16 Calcule dy/dx y halle la pendiente de la recta tangente a la curva en x=1
Grafique la solución sobre la gráfica de la función dada
Calcule d^2 y/dx^2

Answer 1

En x=1 hay dos rectas tangentes cuyas pendientes son $\frac{\sqrt{15}}{15}$ y $-\frac{\sqrt{15}}{15}$ y la derivada segunda es $\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{16}{(\sqrt{16-x^2})^3}$

Desarrollo paso a paso:

Para hallar la derivada de la expresión:

$x^2+y^2=16$

Podemos o bien despejar y para obtener mediante reglas de derivación $\frac{dy}{dx}$ o utilizar el método de la derivada implícita, consistente en derivar la expresión considerando a y como una función en sí misma y derivar todo término que contenga y usando regla de la cadena, queda:

$2x+2y\frac{dy}{dx}=0$

Ahora toca despejar la derivada de y:

$2y\frac{dy}{dx}=0-2x\\\\\frac{dy}{dx}=\frac{-2x}{2y}$

Ahora hay que hallar el punto por donde pasa la recta tangente solicitada, para x=1 es:

$1^2+y^2=16\\y=\ñ\sqrt{15}$

Nos queda que hay dos puntos de la curva donde es x=1. Con lo que las rectas tangentes son dos. Reemplazando esos valores en la derivada hallamos las pendiente de las dos rectas tangente:

$(x,y)=(1,\ñ\sqrt{15})\\\\\frac{dy}{dx}=\frac{0-2.1}{\ñ2\sqrt{15}}=\frac{1}{\ñ\sqrt{15}}=\ñ\frac{\sqrt{15}}{15}=\ñ0,2582...$

Es la pendiente de las dos rectas tangentes para los dos puntos de la curva donde x=1, el de pendiente positiva va a ir en el punto de $y=-\sqrt{15}$ y la de pendiente negativa ende $y=\sqrt{15}$  . Con esto tenemos las ecuaciónes punto-pendiente de las rectas para representarlas:

$\frac{-\sqrt{15}}{15}(x-1)=y-\sqrt{15}$

$\frac{\sqrt{15}}{15}(x-1)=y+\sqrt{15}$

Con lo que las pendientes de las rectas tangentes en x=1 son $\frac{\sqrt{15}}{15}$ y $-\frac{\sqrt{15}}{15}$. Se adjunta el gráfico de la circunferencia y de las dos rectas tangentes.

Ahora para hallar la derivada segunda aplicamos también el método de las derivadas implícitas:

$\frac{dy}{dx}=\frac{-2x}{2y}=-\frac{x}{y}\\\\\frac{d^2y}{dx^2}=-(\frac{1.y-x\frac{dy}{dt}}{y^2})$

Ahora reemplazamos la expresión de la derivada primera:

$\frac{d^2y}{dx^2}=-(\frac{y-x(-\frac{x}{y})}{y^2})=-\frac{y+\frac{x^2}{y}}{y^2}=-\frac{x^2+y^2}{y^3}$

Bien, podemos ponerla en función solo de x teniendo en cuenta que:

$x^2+y^2=16\\\\y=\sqrt{16-x^2}$

Queda:

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{x^2+y^2}{y^3}=\frac{16}{(\sqrt{16-x^2})^3}$