En la siguiente figura se ilustran dos casos de colisiones elásticas. En la parte superior, una partícula de masa m/2 y velocidad v1 colisiona con una partícula de masa m en reposo. En la parte inferior, una partícula de masa 2m y velocidad v1colisiona con una partícula de masa m en reposo
Determine analíticamente:
Las velocidades finales de las partículas en las situaciones 1 y 2.
La conservación del momento mediante los resultados de a) en las situaciones 1 y 2.
La razón entre el momento total en la situación 1 y el momento total en la situación 2.
Determine numéricamente:
Los valores del inciso a) si v_{1\ }=5,00 m/s
Respuestas
Las velocidades finales de las partículas en las situaciones 1 y 2 son:
Caso 1: V2x = 0.67 * V1, V1x = - 0.34 * V1
Caso 2: V2x = 1.34 * V1 , V1x = 0.33*V1
La conservación del momento mediante los resultados de a) en las situaciones 1 y 2.
Caso 1: 0.5*m*V1 = 0.5*m*V1
Caso 2: 2*m*V1 = 2*m*V1
La razón entre el momento total en la situación 1 y el momento total en la situación 2. es la siguiente: P1 / P2 = 0.25
Determine numéricamente:
Los valores del inciso a) si v_(1 )=5,00 m/s. son:
Caso1: V1x = - 1.70m/s , V2x = 3.35m/s
Caso2: V1x = 1.65m/s , V2x = 6.70m/s
Caso 1:
Para calcular la velocidad final de las partículas, aprovechamos que se trata de una colisión elástica, y aplicamos el teorema de la conservación de la cantidad de movimiento lineal para los instantes antes y después de la colisión:
• m/2 * V1 + m * V2 = m/2 * V1x + m * V2x
• m/2 * V1 + m * 0 = m/2 * V1x + m * V2x
• V1/2 = V1x/2 + V2x
• 1) V1x = V1 – 2*V2x
Aplicamos ahora el teorema de la conservación de la energía mecánica para los instantes antes y después de la colisión:
• Em1 = Em2
• Ec1 + Ep1 = Ec2 + Ep2
• Ec1 + 0 = Ec2 + 0
• Ec1 = Ec2
• (1/2) * (m/2) * V12 = (1/2) * (m/2) * V1x2 + (1/2) * (m) * V2x2
• (V1)2 = (V1x)2 + 2*(V2x)2
• 2) (V1x)2 = (V1)2 – 2*(V2x)2
Se sustituye ecuación 1) en ecuación 2):
• (V1 – 2*V2x)2 =(V1)2 – 2*(V2x)2
• (V1)2 – 4*V1*V2x + 4*(V2x)2 = (V1)2 – 2*(V2x)2
• 6*(V2x)2 – 4*V1*V2x = 0
Haciendo iteraciones se llega a un valor de V2x que satisface esta ecuación:
• V2x = 0.67 * V1
Entonces sustituyendo este valor en la ecuación 1):
• V1x = V1 – 2*V2x
• V1x = V1 – 2 * (0.67 * V1)
• V1x = V1 – 1.34 * V1
• V1x = - 0.34 * V1
Comprobando la cantidad de movimiento:
• m/2 * V1 = m/2 * V1x + m * V2x
• m/2 * V1 = m/2 * (-0.34*V1) + m * (0.67*V1)
• 0.5*m*V1 = 0.5*m*V1
Para V1 = 5.00m/s:
• V1x = -0.34 * 5.00m/s
• V1x = - 1.70m/s
• V2x = 0.67 * 5.00m/s
• V2x = 3.35m/s
Caso 2:
Para calcular la velocidad final de las partículas, aprovechamos que se trata de una colisión elástica, y aplicamos el teorema de la conservación de la cantidad de movimiento lineal para los instantes antes y después de la colisión:
• 2*m * V1 + m * 0 = (2*m * V1x) + m * V2x
• 2*m* V1 = 2 *m* V1x + m * V2x
• 2 * V1 = 2 * V1x + V2x
• 1) V2x = 2*(V1 – V1x)
Aplicamos ahora el teorema de la conservación de la energía mecánica para los instantes antes y después de la colisión:
• Em1 = Em2
• Ec1 + Ep1 = Ec2 + Ep2
• Ec1 + 0 = Ec2 + 0
• Ec1 = Ec2
• (1/2) * (2*m) * V12 = (1/2) * (2*m) * V1x2 + (1/2) * (m) * V2x2
• 2*V12 = 2*V1x2 + (V2x)2
• 2) (V2x)2 = 2*((V1)2 – (V1x)2)
Se sustituye ecuación 1) en ecuación 2):
• (2*(V1 – V1x))2 =2*((V1)2 – (V1x)2)
• 4*((V1)2 – 2*V1*V1x + (V1x)2) = 2*((V1)2 – (V1x)2)
• 2*(V1)2 – 4*V1*V1x + 2*(V1x)2 =(V1)2 – (V1x)2
• 3*(V1x)2 – 4*V1*V1x + (V1)2 = 0
Haciendo iteraciones se llega a un valor de V1x que satisface esta ecuación:
• V1x = 0.33*V1
Entonces sustituyendo este valor en la ecuación 1):
• V2x = 2*(V1 – V1x)
• V2x = 2*(V1 – 0.33*V1)
• V2x = 2*(0.67*V1)
• V2x = 1.34 * V1
Comprobando la cantidad de movimiento:
• 2*m * V1 = 2*m * V1x + m * V2x
• 2*m * V1 = 2*m * 0.33*V1 + m * 1.34 * V1
• 2*m*V1 = 0.66*m*V1 + 1.34*m*V1
• 2*m*V1 = 2*m*V1
Para V1 = 5.00m/s:
• V1x = 0.33 * 5.00m/s
• V1x = 1.65m/s
• V2x = 1.34 * 5.00m/s
• V2x = 6.70m/s
La relación entre las cantidades de movimiento situación 1 entre situación 2:
• P1 / P2 = 0.5*m*V1 / 2*m*V1
• P1 / P2 = 0.25