Question

Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 24m/s. Su altura con respecto al tiempo esta definida por la ecuación y=-3$t^{2}$+24t. Determine: ¿Cuánto tiempo está en el aire y cual es la altura máxima.

Nota: Tengo que es una ecuación de segundo grado, sin embargo no comprendo como incorporar estos datos en la fórmula general. Según el libro, la respuesta es: t=8 segundos y YMax=48 metros.

Me gustaría me explicaran como llegar a ese resultado y como resolverla, siendo una ecuación de segundo grado.

Answer 1

Está en el aire hasta que vuelva al origen, para el cual es y = 0

- 3 t² + 24 t = 0; descartamos t = 0

t = 24/3 = 8 segundos.

Si sabes cálculo, la respuesta de la altura es muy simple.

y es máximo cuando su primera derivada es nula y la segunda es negativa.

y' = - 6 t + 24

y'' = - 6 (negativa)

y' = 0; t = 24 / 6 = 4

y = - 3 . 4² + 24 . 4 = 48 m

De otro modo, buscamos las coordenadas del vértice de la parábola.

La forma de esta parábola es (t - h)² = p (y - k), siendo (h, k) las coordenadas del vértice.

Buscamos esta forma completando cuadrados en t

- 3 t² + 24 t = y

- 3 (t² - 8 t) = y

(t² - 8 t) = - 1/3 y

t² - 8 t + 16 = - 1/3 y + 16 = - 1/3 (y - 48)

Luego: (t - 4)² = - 1/3 (y - 48)

El vértice es V(4, 48)

Es decir, para t = 4 s, y = 48 m

Adjunto dibujo.

Mateo