En la figura 10 se muestra un recipiente (cilindro recto) que está lleno de agua hasta una altura 12,6 metros. A una profundidad 2,40 metros bajo la superficie del agua se taladra un orificio. Determinar:
A. La velocidad con que sale el agua del orificio
B. El alcance x del chorro medido desde la base del cilindro.
C. A qué profundidad h se debe realizar un orificio para que el alcance x sea máximo.
D. A qué profundidad debe abrirse otro orificio para que el alcance sea el mismo que el inciso b)
Respuestas
La velocidad con que sale el agua del orificio es V = 6.86 m/s
El alcance x del chorro medido desde la base del cilindro es dx = 9.88 m
La qué profundidad h se debe realizar un orificio para que el alcance x sea máximo dy1 = 11.83m, dy2 = 0.78m
La qué profundidad debe abrirse otro orificio para que el alcance sea el mismo que el inciso b) es dy2 = 10.21m
La velocidad de salida se obtiene de la siguiente ecuación derivada de teorema de Torriceili:
- V = √ (2 * g * h)
- V = √ (2 * 9.81m/s² * 2.40m)
- V = 6.86 m/s
Tratamos al chorro como una partícula cayendo en un movimiento parabólico, descomponemos en eje "X" y "Y" su movimiento.
En el eje horizontal es un MRU:
- V = d / t
- dx = V * t
- 1) dx = 6.86 m/s * t
En la componente vertical es un MRUV aplicamos la siguiente ecuación para hallar el tiempo que tarda el chorro en llegar al suelo (tv):
- d = Vo*t + (1/2) * g * t²
- (12.60m - 2.40 m) = 0 + 0.5 * 9.81m/s² * t²
- t² = 2.08s²
- t = 1.44s
Sustituimos el valor obtenido del tiempo de vuelo en la ecuación 1):
- dx = 6.86 m/s * t
- dx = 6.86 m/s * 1.44s
- dx = 9.88 m
Para que el alcance sea máximo se debe cumplir que dx = 12.6m/2, entonces usamos las mismas ecuaciones pero usamos dx = 6.3m
- V = d / t
- t = dx / V
- t = 6.3m / V
- t = 6.3m / √ (2 * g * h)
- t = 6.3m / √ (2 * 9.81m/s² * dy)
- 1) t = 6.3m / √ (19.62m/s² * dy)
- d = Vo*t + (1/2) * g * t²
- 12.60m-dy = 0 + 0.5 * 9.81m/s² * t²
- 12.60m - dy = 4.91m/s² * t²
- 2) dy = 12.60m - 4.91m/s² * t²
Sustituyo ecuación 1) en ecuación 2):
- dy = 12.60m - ( 4.91m/s² * ( 6.3m / √ (19.62m/s² * dy) )² )
- dy = 12.60m - ( 4.91m/s² * (36.69m² / 19.62m/s² * dy) )
- dy = 12.60m - ( 180.14m³/s² / (19.62m/s² * dy) )
- dy = 12.60m - 9.18m²/ dy
- dy² = 12.60m * dy - 9.18m²
- dy² - 12.60m * dy + 9.18m² = 0, ==> Resolver Ec. cuadrática:
- dy1 = 11.83m
- dy2 = 0.78m
Para que el alcance sea el mismo que en el inciso anterior, usamos las mismas ecuaciones pero usamos dx = 9.88m:
- V = d / t
- t = dx / V
- t = 9.88m / V
- t = 9.88m / √ (2 * g * h)
- t = 9.88m / √ (2 * 9.81m/s² * dy)
- 1) t = 9.88m / √ (19.62m/s² * dy)
- d = Vo*t + (1/2) * g * t²
- 12.60m-dy = 0 + 0.5 * 9.81m/s² * t²
- 12.60m - dy = 4.91m/s² * t²
- 2) dy = 12.60m - 4.91m/s² * t²
Sustituyo ecuación 1) en ecuación 2):
- dy = 12.60m - ( 4.91m/s² * ( 9.88m / √ (19.62m/s² * dy) )² )
- dy = 12.60m - ( 4.91m/s² * (97.61m² / 19.62m/s² * dy) )
- dy = 12.60m - ( 479.27m³/s² / (19.62m/s² * dy) )
- dy = 12.60m - 24.43m²/ dy
- dy² = 12.60m * dy - 24.43m²
- dy² - 12.60m * dy + 24.43m² = 0, ==> Resolver Ec. cuadrática:
- dy1 = 2.40m
- dy2 = 10.21m